Analisi complessa

[Pivot1]

Dovo risolvere il seguente esercizio.

v(x,y) = y / (x^2 + y^2);

trovare l'armonica coniugata a scrivere f(z).



facendo un po di calcoli mi trovo che v è armonica e che

u(x,y) = 1/y*arctg(x/y) + C(y); è giusto?



(ora derivo rispetto a y)

u_y = 1/y^2*arctg(x/y) + x/(y*(x^2 + y^2) ) + 2xy/(x^2 + y^2)^2 + C'(y);



ora per Cauchy - Riemann so che u_y = - v_x

e dopo un po di conti trovo


C(y) = integrale di - {1/y^2*arctg(x/y) + x/[y*(x^2 + y^2)]} dy;



secondo voi è giusto? Ora come si risolve? Io credo per parti ma mi sembra un po lungo visti tutti i calcoli fatti per arrivare qui.....Che ne pensate?

Grazie mille ciao

[Pivot1]

Nessuno lo sa?

[Camillo]

Come hai calcolato u(x,y) ?


Camillo

[Pivot1]

Dal sistema di Cauchy Riemann so che

u_x = v_y
u_y = - v_x

quindi ho integrato ristetto a x la funzione:

(x^2 - y^2 )/(x^2 + y^2)^2 dx;


e viene (ho rifatto bene il conto)

- 1/y*arctg(x/y) - x/(x^2 + y^2) + C(y);


ora derivando rispetto a y ho :


u_y = 1/y^2*arctg(x/y) + x/(y*(x^2 + y^2) ) + 2xy/(x^2 + y^2)^2 + C'(y);

[Sk_Anonymous]

Io mi trovo così:
$u =-x/(x^2+y^2)+C$
Percio' ,a meno di una costante $C$, la $f(z)$ dovrebbe essere:
$f(z)=-x/(x^2+y^2)+i*y/(x^2+y^2)=-z_(_) /|z|^2$
dove con $z_(_)$ ho indicato il coniugato di z
Archimede

[Camillo]

Calcolo $ (dv(x,y))/dy = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 $ che per le formule di Cauchy Riemann deve essere uguale a : $ (du)/dx$.
Calcolo ora $ u(x,y) = int (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx = -x/(x^2+y^2) +f(y) $ .

Sempre per le formule sopracitate deve essere :

$ (du)/dy = -(dv)/dx $ e quindi :

$ 2xy/(x^2+y^2)^2 +f'(y) = -(-2xy/(x^2+y^2)^2)$ e quindi $ f'(y) = 0 $ da cui $ f(y) = c $.
In conclusione :
$ u(x,y) = -x/(x^2+y^2) +c $ che si dimostra facilmente essere funzione armonica .

Pertanto : $f(x+iy) = -x/(x^2+y^2)+iy/(x^2+y^2) +c = - ( x-iy)/(x^2+y^2) +c $

Essendo poi : $(x-iy) = z^(--) $ e $x^2+y^2 = |z|^2 $ si ottiene :

Quindi $ f(z) = -z^(--)/|z|^2 +c $ ; $z^(--) $ è z coniugato .

Camillo

[Pivot1]

Ma la è questa:

u(x,y) = -1/y*arctg(x/y) - x/(x^2+y^2) + C(y);

Ora il problema non finisce qui, perchè si deve derivere in funzione di y cioè trovare la u_y e poi, dalla seconda equazione di Cauchy Riemann (u_y = -v_x) uguagliare i valori trovati. Dopo si deve trovare il valore della "nuova" costante C'(y), che viene fuori della derivazione precedente. Poi si scrive la funzione f(z) come somma della u e della i v.

Io non riesco a trovare il valore della costante C'(y) che secondo i calcoli equivale a risolvere l'integrale in dy di:

[so che C'(y) = -1/y*arctg(x/y) - (x/y)/(x^2+y^2)]

allora la C(y) = int. di - {1/y^2*arctg(x/y) + x/[y*(x^2 + y^2)]} dy;

[Pivot1]

Non ci troviamo perchè a me l'integrale esce:

-1/y*arctg(x/y) - x/(x^2+y^2) + C(y)

mentre a te viene solo

-x/(x^2+y^2) +f(y)

[Sk_Anonymous]

@Pivot
Il problema finisce invece proprio con le soluzioni indicate da me e confermate
chiarissimamente da Camillo.
La u(x,y) da te trovata e' errata
Siamo in due a dire la stessa cosa ,non ti pare che basti?
Archimede

[Pivot1]

si lo vedo. Non verrei essere presuntuoso dicendo che non riesco a capire come fa a venire cosi quell'integrale. Insomma ho ricontrollato e ricontrollato i calcoli....
ora provo a rifare l'integrale speriamo bene. ciao

[Camillo]

@ Pivot : posta i calcoli che hai fatto per calcolare u(x,y ) e vediamo dove è l'errore.

Camillo

[Pivot1]

ok. Proverò ad essere il più chiaro possibile:

u(x,y) = int. (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2 dx;


= int. (x^2)/(x^2 + y^2)^2 dx - int. (y^2)/(x^2 + y^2)^2 dx =


= int. (x^2 + y^2 - y^2 ) / (x^2 + y^2)^2 dx - int. (y^2)/(x^2 + y^2)^2 dx =


= int. 1/ (x^2 + y^2)dx - 2int. (y^2)/(x^2 + y^2)^2 dx =


= int. 1/y^2*[(x/y)^2 + 1] dx - 2int.(y^2)/y^4*[(x/y)^2 + 1]^2 dx =


pongo (x/y) = t allora dx = ydt;


= int. (y)/(y^2)*(1 + t^2) dt - 2int.(y)/(y^2)*(1 + t^2)^2 dt =


= int. 1/(y)*(1 + t^2)dt - 2int. 1/(y)*(1 + t^2)^2 dt =


= 1/y*arctg(x/y) + C(y) - 2/y int. 1/(1 + t^2)^2 dt =


Quest'ultimo si fa per iterazione attraverso una formulaccia che non riporto per questioni di lettura (non si capirebbe un cavolo e poi stà su tutti i libri di calcolo differenziale ed integrale)


- 2/y int. 1/(1 + t^2)^2 dt = -2/y[ (1/2)*(x/y)[1+(x/y)^2] + arctg(x/y)] + C(y);


allora la u(x,y) dopo un po di conti fatti per aggiustarla viene:


u(x,y) = -1/y*arctg(x/y) - x/(x^2+y^2) + C(y) ;

Ora si deve derivare la u(x,y) rispetto a y.
Poi per C-R la si deve uguagliare a -v_x.....

[Sk_Anonymous]

C'e' un errore nella penultima formula che va scritta cosi':
$- 2/y int 1/((1 + t^2)^2) dt = -2/y[ (x/y)/(2(1+(x/y)^2 ))+1/2arctg(x/y)] + C(y)=-x/(x^2+y^2)-1/yarctg(x/y)+C(y)
Questo perche',a meno di una costante, si ha :
$int 1/((1+t^2)^2)dt=t/[2(1+t^2)]+1/2arctg(t)$
Con questa correzione si aggiusta tutto.
Archimede.
P.S.
La "formulaccia" a cui tu fai riferimento e' questa:
$int 1/((1+t^2)^n)dt=t/[2(n-1)(1+t^2)^(n-1)]+(2n-3)/(2n-2) int 1/[(1+t^2)^(n-1))dt$
che per n=2 diventa quella che ho indicato.

[Pivot1]

Sono contento che qualcuno ha scovato l'errore. Io l'ho provato a rifare ma senza successo. Cmq. ora si che diventa tutto più semplice . Grazie a tutti per la vostra pazienza e soprattutto per essere riusciti a venirne a capo. Ciao