[Analisi] Calcolo e verifica limiti, derivate, studio di funzione (1)

[Hajra]

Qualcuno mi sapresti risolvere questi esercizi per favoureeeeeeeeee

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

1. Non credo sia difficile calcolare

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to -1^+}\log\sqrt{x+1}=-\infty \; .\end{aligned}\\[/math]

Verifichiamo:

[math]\forall\,I(-\infty)[/math]

fissato

[math]M>0\\[/math]

arbitrariamente grande,

[math]\exists \, U_{-1^+}[/math]

tale che

[math]\forall\,x\in U_{-1^+}\; (x\ne -1):\\[/math]

[math]\Rightarrow \; \left|\log\sqrt{x+1}\right| > M\\[/math]

.

A te risolvere tale disequazione rispetto ad

[math]x\\[/math]

.


2. Per verificare la continuità di

[math]f[/math]

in

[math]x=1[/math]

occorre vedere se

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)\end{aligned}[/math]

.
Per la derivabilità di

[math]f[/math]

nel suddetto punto è sufficiente verificare se

[math]\begin{aligned}\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\end{aligned}\\[/math]

esiste finito.


3. Per lo studio di quest'altra funzione si procede alla solita maniera ;)

[Hajra]

per il 1° esercizio:

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to -1^+}\log\sqrt{x+1}=-\infty\;.\end{aligned}\\[/math]

ma per quanto riguarda la verifica non è così
f(x) < -M
per il 2° esercizio
devo mettere 1 dove c'è x vero? se è così mi porta 0 quindi che vuol dire che la funzione è continua?? e per quanto riguarda la derivabilita sinceramente non ho capito la formula :'( nel senso che devo mettere la funzione + h poi - f(x) tutto fratto h ma per f(1) cosa intende quello k mi porta mettendo 1 al posto di x????

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

1. Bada bene che da

[math]\left|\log\sqrt{x+1}\right|>M[/math]

, dato che siamo interessati allo studio dell'intorno destro di

[math]x=-1[/math]

, segue

[math]-\log\sqrt{x+1}>M[/math]

ossia [math]\log\sqrt{x+1}

[Hajra]

[math]f(x)= (x+1)e^\frac{x}{x-1}[/math]

dominio:
x ≠ 1 quindi posso scrivere anche così

[math](-\infty;1)U(1;+\infty)[/math]

simmetrie:

[math]f(-x)= (-x+1)e^\frac{-x}{-x-1}[/math]

la funzione non è pari nè dispari
asintoto verticale:

[math]limx->1^+ (x+1)e^\frac{x}{x-1}= +\infty[/math]

[math]limx->1^- (x+1)e^\frac{x}{x-1}= 0[/math]

quindi la funzione ha asintoto verticale al punto 1+, mentre non ha per il punto 1-
asintoto orizzontale:

[math]limx->+\infty (x+1)e^\frac{x}{x-1}= +\infty[/math]

ho dei dubbi per quanto riguarda asintoto orizzontale
quello che ho fatto, è giusto così??????

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Quello che hai scritto è tutto corretto!! Noto dei progressi Hajra,
avanti tutta!! :) Ora vedi che succede per

[math]x\to -\infty[/math]

. ;)

[Hajra]

[math]lim x-> -\infty (x+1)e^ \frac{x}{x-1} = -\infty[/math]

quindi non c'è asintoto orizzontale, a questo punto vado vedere se esiste asintoto obliquo
m=

[math]lim x-> ±\infty \frac{(x+1)e^ \frac{x}{x-1}}{x}↔lim x->±\infty 1* e^\frac{x}{x-1}[/math]

la potenza di e avendo lo stesso grado di x:

[math]limx-> ±\infty e^1 = e[/math]

la formula è y= mx+q ho trovato "m" adesso devo trovare "q"

[math]limx-> ±\infty f(x)-mx [/math]

quindi

[math](x+1)e^ \frac{x}{x-1}-ex[/math]

va bene così???? il q dopo come riesco a risolvere???

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Vediamo di scrivere per bene anche i passaggi intermedi...

[math]
\small
\begin{aligned}
m
& = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}{x} \\
& = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x+1}{x} \cdot \lim_{x\to \pm\infty} e^{\frac{x}{x-1}}\\
& = 1 \cdot e^1 \\
& = e
\end{aligned}\\
[/math]

[math]
\small
\begin{aligned}
q
& = \lim_{x\to \pm\infty} (x+1)e^{\frac{x}{x-1}} - ex\\
& = \lim_{x\to \pm\infty} (x+1)e^{\frac{x}{x-1}} - e(x+1) + e\\
& = e + \lim_{x\to \pm\infty} e(x+1)\left(e^{\frac{1}{x-1}} - 1\right) \\
& = e + \lim_{x\to \pm\infty} e\frac{x+1}{x-1} \\
& = e + e \\
& = 2e
\end{aligned}\\
[/math]

Dunque, l'asintoto obliquo ha equazione

[math]y=e\,(x+2)[/math]

. ;)