[Analisi] Calcolo e verifica limite, derivata, studio della funzione (2)

[Hajra]

tutti e 3 lo so fare fino un certo punto dopo mi blocco

[Studente Anonimo]

1. Sul calcolo del limite è tutto ok, mentre sulla propria verifica tramite definizione occorre essere un po' furbi. Nel senso che, avendo già semplificato la funzione in esame per il calcolo del limite, è bene utilizzare tale "forma semplificata" anche nella verifica, altrimenti poi occorre fare tutto da capo. In sostanza, si ha

[math]
\begin{aligned}
\left|\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{2}\right| 0 \right\}\\[/math]

.

Sull'intersezione di

[math]f[/math]

con gli assi cartesiani e sullo studio delle simmetrie è tutto ok. Sulla ricerca degli asintoti verticali puoi estendere tale studio per

[math]x\to 1[/math]

ed ottenere il medesimo risultato, dunque calcolare il limite per

[math]x\to 0^+[/math]

. Nel calcolo del coefficiente angolare dell'ansintoto obliquo puoi affermare immediatamente che quel limite è pari a zero per via della gerarchia degli infiniti (a numeratore logaritmi e a denominatore potenze).


Per quanto riguarda lo studio della positività di

[math]f[/math]

quello che scrivi è corretto ma incompleto in quanto non consideri il segno per

[math]0 < x < 1[/math]

. A conti fatti si trova che

[math]f(x) < 0[/math]

per

[math]0 < x < 1 \, \vee \, 1 < x < e[/math]

mentre

[math]f(x)>0[/math]

per

[math]x>e\\[/math]

.

Infine, sulla derivata prima, bada bene che

[math]f'(x)= \begin{cases} \frac{1-2\log x}{x} & per \; \; 0 < x < 1 \\ -\frac{1-2\log x}{x} & per \; \; x > 1 \end{cases}\\[/math]

Dunque sono d'accordo che per

[math]x>1[/math]

si abbia

[math]f'(x) < 0[/math]

per

[math]1 < x < \sqrt{e}[/math]

ed

[math]f'(x) > 0[/math]

per

[math]x > \sqrt{e}[/math]

, ma sarai d'accordo che occorre studiare il segno anche per

[math]0 < x < 1[/math]

. Inoltre ti invito ad indagare sulla derivabilità o meno di

[math]f[/math]

per

[math]x=1[/math]

. ;)