[Analisi A] Domande su serie
Sto ripassando in preparazione all'esame e ho alcune domande
$A = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}$
$B = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{7n+24}{n^2+7n+12}$
Per determinarne il comportamento io ho fatto così, usando il criterio di convergenza assoluta e del confronto in entrambi i casi.
1]
$ | A | \sim \frac{1}{2n+\sqrt{n}} \ge \frac{1}{\sqrt{n}}$ quindi converge e assolutamente perchè $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}$ converge
2] $ | B | \sim 7 \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n}$ quindi diverge
La mia prima domanda è.. ho ragione??
La seconda, invece è come posso utilizzare il citerio di Liebnitz(e chi mi da una dritta per capirne la dimostrazione)??
Ciauz
$A = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}$
$B = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{7n+24}{n^2+7n+12}$
Per determinarne il comportamento io ho fatto così, usando il criterio di convergenza assoluta e del confronto in entrambi i casi.
1]
$ | A | \sim \frac{1}{2n+\sqrt{n}} \ge \frac{1}{\sqrt{n}}$ quindi converge e assolutamente perchè $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}$ converge
2] $ | B | \sim 7 \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n}$ quindi diverge
La mia prima domanda è.. ho ragione??
La seconda, invece è come posso utilizzare il citerio di Liebnitz(e chi mi da una dritta per capirne la dimostrazione)??
Ciauz
Risposte
Il criterio di Leibniz puoi usarlo, ad esempio, nella serie (b) da te proposta, per dimostrare che converge
Quindi la b) è sbagliata.
Infatti si tratta di una serie a termini di segno alterno e la successione ${\frac{7n+24}{n^2+7n+12}}$ è definitivamente decrescente e positiva. Quindi converge! E' esattamente il criterio di Leibniz...
Nella prima serie non mi è chiara la valutazione asintotica: a denominatore c'è una somma... perchè è sparito il $(-1)^n$ ??
Quindi la b) è sbagliata.
Infatti si tratta di una serie a termini di segno alterno e la successione ${\frac{7n+24}{n^2+7n+12}}$ è definitivamente decrescente e positiva. Quindi converge! E' esattamente il criterio di Leibniz...
Nella prima serie non mi è chiara la valutazione asintotica: a denominatore c'è una somma... perchè è sparito il $(-1)^n$ ??
grazie per la celerità...potresti spiegarmi meglio le correzioni cosi capisco..
Ciauz
Ciauz
CRITERIO DI LEIBNIZ
Sia ${a_n}$ successione infinitesima a termini positivi e decrescente
Allora la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$ converge.
La serie (b) si trova esattamente in queste condizioni.
Per quanto riguarda la (a), è falso dire che
$| \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}|= \frac{1}{2n+\sqrt{n}} $ perchè a denominatore c'è una somma!
Dopo dovrei avere un po' di tempo...(se lo ho) ti posto la soluzione completa..
Sia ${a_n}$ successione infinitesima a termini positivi e decrescente
Allora la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$ converge.
La serie (b) si trova esattamente in queste condizioni.
Per quanto riguarda la (a), è falso dire che
$| \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n(n+\sqrt{n})}|= \frac{1}{2n+\sqrt{n}} $ perchè a denominatore c'è una somma!
Dopo dovrei avere un po' di tempo...(se lo ho) ti posto la soluzione completa..
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