Analisi
Ciao a tutti amici,
voglio proporre un quesito di anlisi 2:
Data F(x,z):=(xz^3-x^2z+5x)
determinare i punti di massimo e minimo assoluti su Q=[-2,2]x[-2,2].
qualcuno sa darmi qualche consiglio?
anche solo avviarmi,perche' io non so da dove iniziare.
grazie a tutti.
michele.[/img]
voglio proporre un quesito di anlisi 2:
Data F(x,z):=(xz^3-x^2z+5x)
determinare i punti di massimo e minimo assoluti su Q=[-2,2]x[-2,2].
qualcuno sa darmi qualche consiglio?
anche solo avviarmi,perche' io non so da dove iniziare.
grazie a tutti.
michele.[/img]
Risposte
innanzi tutto è una funzione di 2 variabili (sta sul piano xz)...Q è il bordo del quadrato su cui devi andare a studiare la funzione in questo caso ti conviene parametrizzarlo e studiare la funzione in base a quel parametro in modo tale da ottenere una funzione di una variabile...
A grandi linee, i punti di massimo e minimo possono trovarsi all'interno del dominio o sul bordo.
Per la ricerca dei massimi e minimi interni, in genere si calcola il gradiente della funzione e si cercano i punti che lo annullano. Dopodiché si va a valutare l'hessiano in corrispondenza di tali punti. In base al segno dell'hessiano (a volte) si riesce a capire se il punto è massimo, minimo o nulla di ciò.
I punti di massimo e minimo sul bordo del dominio si trovano applicando una delle tecniche di ricerca di massimi e minimi vincolati. Una potrebbe essere, come suggerito da elwood, parametrizzare la curva che fa da bordo del dominio (anche a tratti) e poi sostituire tale parametrizzazione nell'espressione della funzione. In questo modo otterresti una funzione di una variabile che può essere studiata con i metodi classici.
In alternativa puoi applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange...e qui mi fermo perché so che si usa ma non ricordo come
...però dovresti aver studiato un metodo per il calcolo di massimi e minimi vincolati nel corso che hai seguito...
Per la ricerca dei massimi e minimi interni, in genere si calcola il gradiente della funzione e si cercano i punti che lo annullano. Dopodiché si va a valutare l'hessiano in corrispondenza di tali punti. In base al segno dell'hessiano (a volte) si riesce a capire se il punto è massimo, minimo o nulla di ciò.
I punti di massimo e minimo sul bordo del dominio si trovano applicando una delle tecniche di ricerca di massimi e minimi vincolati. Una potrebbe essere, come suggerito da elwood, parametrizzare la curva che fa da bordo del dominio (anche a tratti) e poi sostituire tale parametrizzazione nell'espressione della funzione. In questo modo otterresti una funzione di una variabile che può essere studiata con i metodi classici.
In alternativa puoi applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange...e qui mi fermo perché so che si usa ma non ricordo come
...però dovresti aver studiato un metodo per il calcolo di massimi e minimi vincolati nel corso che hai seguito...
potreste farmi un consiglio su come parametrizare il vincolo che in questo aso e' un quadrato?
Conviene parametrizzarlo a pezzi: ogni lato è un segmento.
Ad esempio, detti $A(2,2), \quad B(-2,2), \quad C(-2,-2), \quad D(2,-2)$ i suoi vertici, il lato $BA$ può essere parametrizzato come
$gamma_(BA)(t)=(t,2)$ con $t in [-2,2]$
(al fine dello studio dei massimi e minimi non è importante l'orientamento della parametrizzazione).
Quindi la funzione su quel lato diventa
$F(x(t),z(t))=t2^3-t^2 2+5t=-2t^2+13t$ (se ho inteso bene la tua funzione)
e quindi si possono cercare i massimi e minimi come se fosse una funzione di una variabile.
Per gli altri lati il procedimento è analogo.
Ad esempio, detti $A(2,2), \quad B(-2,2), \quad C(-2,-2), \quad D(2,-2)$ i suoi vertici, il lato $BA$ può essere parametrizzato come
$gamma_(BA)(t)=(t,2)$ con $t in [-2,2]$
(al fine dello studio dei massimi e minimi non è importante l'orientamento della parametrizzazione).
Quindi la funzione su quel lato diventa
$F(x(t),z(t))=t2^3-t^2 2+5t=-2t^2+13t$ (se ho inteso bene la tua funzione)
e quindi si possono cercare i massimi e minimi come se fosse una funzione di una variabile.
Per gli altri lati il procedimento è analogo.
L'insieme Q va scomposto, negli insiemi:
I punti interni a Q
I quattro segmenti del bordo, senza gli estremi.
I quattro spigoli.
Per ogniuno dei 9 insiemi trovi i massimi e minimi e li confronti tra loro, per capire quali sono i veri assoluti.
PS:Per il primo insieme, correggetemi se sbaglio in quanto non sono sicuro al 100%, si studiano i punti critici dell'Hessiano su tutto $RR^2$ e si vede se essi sono interni o esterni all'insieme considerato Q.
I punti interni a Q
I quattro segmenti del bordo, senza gli estremi.
I quattro spigoli.
Per ogniuno dei 9 insiemi trovi i massimi e minimi e li confronti tra loro, per capire quali sono i veri assoluti.
PS:Per il primo insieme, correggetemi se sbaglio in quanto non sono sicuro al 100%, si studiano i punti critici dell'Hessiano su tutto $RR^2$ e si vede se essi sono interni o esterni all'insieme considerato Q.
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