Analisi 3: la funzione appartiene ad L1?

[sdrabb1]

vorrei determinare se $ F(omega) in L^1 $, cioè se l'integrale del modulo della funzione converge su $ R $(sull'asse reale):

$ F( omega ) = (2*pi) / sqrt(7) * e^( j*omega/2 * (-5+j*sqrt(7) ) $


come stabilisco se l'integrale converge o diverge in questo caso?

[dissonance]

Elimina tutta la fuffa. L'integrale del modulo di $F$ è convergente se e solo se l'integrale di $e^{-\frac{\sqrt 7}{2} \omega}$ lo è.

[sdrabb1]

grazie per la risposta, che vuol dire elimina tutta la fuffa? dici di considerare solo la parte reale dell'esponente?

Inoltre considerando che la funzione a +infinito va a 0 e a -infinito va 0 posso quindi dire che l'integrale diverge giusto?
dunque non appartiene ad $ L^1 $

[dissonance]

Devi considerare il modulo della funzione e le costanti moltiplicative non cambiano il risultato. Quindi si, alla fine conta solo la parte reale dell'esponente

[sdrabb1]

puoi spiegarmi meglio? le costanti moltiplicative non le cnsidero mentre dell'esponenete considero solo la parte reale corretto? della parte immmaginaria me ne frego ok?

[Emar1]

"sdrabb":come stabilisco se l'integrale converge o diverge in questo caso?

Giustamente nel tuo primo post hai parlato di un integrale, qual'è l'integrale che devi studiare? Scrivilo!

[dissonance]

Sono d'accordo con Emar, basta scrivere l'integrale e ragionarci su un poco. Alla fine, è così, della parte immaginaria nell'esponente "te ne freghi" ma dovresti capire anche il motivo, altrimenti nel prossimo esercizio sei punto e daccapo. Hai avuto una risposta corretta qui, dove hai fatto cross-posting (la prossima volta, sempre meglio dichiarare i cross-posting, è più onesto):

http://math.stackexchange.com/q/1734916/8157

[sdrabb1]

si ho capito che ho avuto una risposta corretta, ma vorrei saper il perché altrimenti come dici tu al prossimo esercizio sono fregato.... riscrivo la mia domanda sotto forma di integrale : $ int_(-oo)^(+oo) abs(F(omega) )domega < +oo$ ??

ho capito che converge tra $ [0,+oo) $ ma vorrei capire come fare a stabilire se l'integrale di un esponenziale complesso converge o meno. grazie( riguardo al cross posting non pensavo fosse un problema la prossimaa volta comunico sicuramente grazie ancora)

[Emar1]

"sdrabb":...ma vorrei capire come fare a stabilire se l'integrale di un esponenziale complesso converge o meno.

Il tuo integrale, come hai scritto, è \(\int_\mathbb{R} |F(\omega)| d\omega\). Dove \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\). Il modulo è una norma su $CC$, quindi una funzione del tipo \(|\cdot|: \mathbb{C} \to \mathbb{R}\).

L'integrando dunque è la composizione di queste due funzioni \(|\cdot| \circ F = |F| : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) che è una funzione reale di variabile reale.

Quindi l'integrale è un comunissimo integrale in una variabile reale, di cui devi studiare la convergenza.

L'integrando è un esponenziale negativo, quindi definito su tutto $RR$. Ci possono essere problemi solo all'infinito. Dato che, come hai scritto, $\lim_{\omega \to -\infty} |F(\omega)| = \infty$ l'integrale non può convergere.


EDIT: Per quanto riguarda il cross-posting su altri siti non è proibito dal regolamento, ma è buona norma, nelle community in genere, segnalare quando lo si fa