Analisi 3

[Principe2]

Sia $y(x)$ la soluzione del problema $y''(x)= -|y(x)|$ con condizioni di Cauchy $y'(0)=0$ e $y(0)=1$. Mostrare che $y$ è pari e che ammette al più uno zero sul semiasse positivo.

[francescodd1]

non ne capisco di analisi, quindi quasi sicuramente avro detto cretinate, comunque in 0 si ha una concavita rivolta verso il basso . la derivata seconda è sempre minore di zero o al piu uguale. questo implica che la drivata prima decresce in R. non so dirti di piu ciao

[irenze]

La parità è facile, mi sembra: l'integrale di una funzione pari è dispari a meno di costanti additive, siccome $y'(0)=0$ la $y'$ è dispari e l'integrale di una funzione dispari è pari.

[rubik2]

"francescodd":non ne capisco di analisi, quindi quasi sicuramente avro detto cretinate, comunque in 0 si ha una concavita rivolta verso il basso . la derivata seconda è sempre minore di zero o al piu uguale. questo implica che la drivata prima decresce in R. non so dirti di piu ciao

in x=0 vale 0 quindi $f'(x)<=0$ $AAx>0$ e la f è monotona quindi ha al più uno zero. mi pare corretto

[Principe2]

non ho capito perchè $y'$ dovrebbe essere dispari ...
il secondo punto vabbè è quasi facile, ma in realtà secondo me c'è da osservare che $y$ non può diventare costante, perchè il passaggio da concava a costante implica un intervallino di convessità che non può esserci.

[ViciousGoblin]

"ubermensch":non ho capito perchè $y'$ dovrebbe essere dispari ...
il secondo punto vabbè è quasi facile, ma in realtà secondo me c'è da osservare che $y$ non può diventare costante, perchè il passaggio da concava a costante implica un intervallino di convessità che non può esserci.

Riguardo alla parità io direi che 1)vale il teorema di unicità (perchè $F(y)=|y|$ è lipschitziana)
2) presa la soluzione $y(x)$ sulle $x\geq0$ ed estesa per parità alle $x\leq0$, la funzione così
costruita è soluzione (perché $y'(0)=0$ e perchè $F$ è pari). Dunque $y$ è LA soluzione, che di
conseguenza deve essere pari.

[Principe2]

ok.. bene!!

mamma mia quanto sono arrugginito!