Analisi 2...(integrale doppio)
ciao a tutti! sapete aiutarmi a risolvere questo esercizio?
1)rappersentare graficamente D={(x,y):x^2+y^2-4x+4<=1}.
2)calcolare in D ∫∫1/[√(x^2+y^2-4x+4)^3] dx dy.
il primo dovrei averlo svolto correttamente infatti mi viene una circonferenza di centro (2,0) e raggio =2.D è l'area racchiusa dalla circonferenza, esatto?
Per il secondo non so proprio come regolarmi....
1)rappersentare graficamente D={(x,y):x^2+y^2-4x+4<=1}.
2)calcolare in D ∫∫1/[√(x^2+y^2-4x+4)^3] dx dy.
il primo dovrei averlo svolto correttamente infatti mi viene una circonferenza di centro (2,0) e raggio =2.D è l'area racchiusa dalla circonferenza, esatto?
Per il secondo non so proprio come regolarmi....
Risposte
Potresti riscrivere meglio quelle formule, magari mettendole tra dollari......GRAZIE!!!
benvenuto/a nel forum.
il centro è esatto, il raggio no... ricontrolla! ciao.
il centro è esatto, il raggio no... ricontrolla! ciao.
ecco una mini-leggenda dei segni:
∫= integrale
^ elevato
<= minore uguale
con i dollari viene troppo disordinato e non si capisce nulla....
∫= integrale
^ elevato
<= minore uguale
con i dollari viene troppo disordinato e non si capisce nulla....
Si capisce poco dalla tua notazione... provo a riscriverla:
1) determinare graficamente $D={(x,y): x^2+y^2-4x+4<=1}$
2) calcolare $int_D 1/sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3)$
Per quanto riguarda il punto 1) è un disco:
$x^2+y^2-4x+4<=1$
$(x-2)^2 + y^2 <=1$
quindi centro in $(2,0)$ e raggio 1.
per il punto 2) è conveniente dapprima fare un cambio di variabili come segue:
$\{(X=x-2),(Y=y):}$
che conduce a:
$int_D 1/sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3) = int_D 1/sqrt((X^2+y^2)^3)$
e poi apportare un cambio di coordinate (passando alle polari):
$int_0^1 int_0^{2*pi} 1/sqrt(rho^3) d phi d rho = 2*pi * int_0^1 rho^(3/2) d rho = 4/5*pi$
Salvo errori dovrebbe essere il risultato.
1) determinare graficamente $D={(x,y): x^2+y^2-4x+4<=1}$
2) calcolare $int_D 1/sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3)$
Per quanto riguarda il punto 1) è un disco:
$x^2+y^2-4x+4<=1$
$(x-2)^2 + y^2 <=1$
quindi centro in $(2,0)$ e raggio 1.
per il punto 2) è conveniente dapprima fare un cambio di variabili come segue:
$\{(X=x-2),(Y=y):}$
che conduce a:
$int_D 1/sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3) = int_D 1/sqrt((X^2+y^2)^3)$
e poi apportare un cambio di coordinate (passando alle polari):
$int_0^1 int_0^{2*pi} 1/sqrt(rho^3) d phi d rho = 2*pi * int_0^1 rho^(3/2) d rho = 4/5*pi$
Salvo errori dovrebbe essere il risultato.
"giùgiù":
ciao a tutti! sapete aiutarmi a risolvere questo esercizio?
1)rappersentare graficamente $D={(x,y)|x^2+y^2-4x+4<=1}$.
2)calcolare in $int int_D 1/(sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3)) dx dy$.
il primo dovrei averlo svolto correttamente infatti mi viene una circonferenza di centro (2,0) e raggio =2.D è l'area racchiusa dalla circonferenza, esatto?
Per il secondo non so proprio come regolarmi....
Innanzitutto la circonferenza e centrata in $(2,0)$ con raggio unitario.
Per il calcolo dell'integrale possiamo eseguire il seguente cambio di variabile:
$x-2=alpha => dx=d alpha$, quindi il dominio sarà:
$D={alpha^2+y^2<=1}$.
Consegunetemente la funzione integranda:
$f(alpha,y)=1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3))$ quindi:
$int int_D 1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3)) d alpha dy$.
Ora possiamo operare con le coordinate polari, ottenendo:
$int_0^(2 pi) int_0^1 rho/(sqrt((rho^2)^3)) d rho d theta$ da cui:
$int_0^(2 pi) int_0^1 1/rho^2 d rho d theta$.
Un po diverso da LORD K.....
Grazie clrscr e lord k ,adesso ho trovato il risultato;p
"clrscr":
[quote="giùgiù"]ciao a tutti! sapete aiutarmi a risolvere questo esercizio?
1)rappersentare graficamente $D={(x,y)|x^2+y^2-4x+4<=1}$.
2)calcolare in $int int_D 1/(sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3)) dx dy$.
il primo dovrei averlo svolto correttamente infatti mi viene una circonferenza di centro (2,0) e raggio =2.D è l'area racchiusa dalla circonferenza, esatto?
Per il secondo non so proprio come regolarmi....
Innanzitutto la circonferenza e centrata in $(2,0)$ con raggio unitario.
Per il calcolo dell'integrale possiamo eseguire il seguente cambio di variabile:
$x-2=alpha => dx=d alpha$, quindi il dominio sarà:
$D={alpha^2+y^2<=1}$.
Consegunetemente la funzione integranda:
$f(alpha,y)=1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3))$ quindi:
$int int_D 1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3)) d alpha dy$.
Ora possiamo operare con le coordinate polari, ottenendo:
$int_0^(2 pi) int_0^1 rho/(sqrt((rho^2)^3)) d rho d theta$ da cui:
$int_0^(2 pi) int_0^1 1/rho^2 d rho d theta$.
Un po diverso da LORD K.....[/quote]
Mi manca il fattore $rho$ nell'integrale... mi dici dove l'ho perso?
é una traccia d'esame della scorsa sessione...
scusate, dopo il mio primo intervento, avevo delle perplessità sul testo per il fatto che la funzione non fosse limitata al centro. procedendo con i calcoli, nel frattempo sono arrivati gli interventi di Lord K e clrscr, i miei concordano con quelli di clrscr (a proposito, per quanto riguarda il fattore $rho$ , potrebbe essere sia che sotto radice andava raddoppiato l'esponente sia che mancava lo jacobiano [mi pare che si chiamasse così il determinante della matrice di trasformazione in coordinate polari]), anche se, per tentativo di maggiore convincimento e per riprendere dimestichezza con integrali particolari, ho cercato di usare anche l'altro metodo, senza passare a coordinate polari... mi sono fermata ad un certo punto, ma non è questo il problema di cui vi volevo parlare.
veniamo al punto: è possibile che l'integrale diverga? possibile, se la risposta è sì, che la cosa sia passata inosservata? (questo è il motivo della mia perplessità).
scusate l'esposizione contorta, ma se l'integrale non diverge sareste così gentili da farmi vedere i passaggi finali? ciao e grazie.
veniamo al punto: è possibile che l'integrale diverga? possibile, se la risposta è sì, che la cosa sia passata inosservata? (questo è il motivo della mia perplessità).
scusate l'esposizione contorta, ma se l'integrale non diverge sareste così gentili da farmi vedere i passaggi finali? ciao e grazie.
"Lord K":
[quote="clrscr"][quote="giùgiù"]ciao a tutti! sapete aiutarmi a risolvere questo esercizio?
1)rappersentare graficamente $D={(x,y)|x^2+y^2-4x+4<=1}$.
2)calcolare in $int int_D 1/(sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3)) dx dy$.
il primo dovrei averlo svolto correttamente infatti mi viene una circonferenza di centro (2,0) e raggio =2.D è l'area racchiusa dalla circonferenza, esatto?
Per il secondo non so proprio come regolarmi....
Innanzitutto la circonferenza e centrata in $(2,0)$ con raggio unitario.
Per il calcolo dell'integrale possiamo eseguire il seguente cambio di variabile:
$x-2=alpha => dx=d alpha$, quindi il dominio sarà:
$D={alpha^2+y^2<=1}$.
Consegunetemente la funzione integranda:
$f(alpha,y)=1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3))$ quindi:
$int int_D 1/(sqrt((alpha^2+y^2)^3)) d alpha dy$.
Ora possiamo operare con le coordinate polari, ottenendo:
$int_0^(2 pi) int_0^1 rho/(sqrt((rho^2)^3)) d rho d theta$ da cui:
$int_0^(2 pi) int_0^1 1/rho^2 d rho d theta$.
Un po diverso da LORD K.....[/quote]
Mi manca il fattore $rho$ nell'integrale... mi dici dove l'ho perso?[/quote]
Sì mi sono dimenticato del cambio di variabile...
$int_0^(2 pi) int_0^1 rho/(sqrt((rho^2)^3)) d rho d theta= int_0^(2 pi) int_0^1 1/rho^2 d rho d theta = int_0^(2 pi) [-1/rho]_0^1 d rho d theta$
E' verosimile la possibilità di divergenza. Se andiamo a vedere, infatti, la funzione integranda in un intorno di $(2,0)$ diverge.
P.S.: Fra l'altro mi ero sbagliato nel post precedente anche nella trascrizione dell'integrale
Sorry....
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