[Analisi 2]Esercizio sugli estremi vincolati di funzioni a due variabili
Ciao a tutti,
avrei da proporvi un esercizio per il calcolo degli estremi vincolati, da risolversi con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$f(x,y) = x^3 + y^3 text{ con vincolo } y^2 - x^2 = 1$
Questa è il mio procedimento:
Pongo il vincolo = 0, ovvero $ y^2 - x^2 - 1 = 0$ e scrivo la funzione di Lagrange nei parametri di $text{x, y e} \lambda$ che si traduce in $L(x,y, \lambda) = x^3 + y^3 + \lambda(y^2 - x^2 - 1)$
Scrivo il gradiente di L: $text{grad} L = (3x^2 -2\lambdax)i + (3y^2 + 2\lambday)j$
Imposto il sistema con le due derivate parziali in x e y del gradiente e lo metto insieme al vincolo, che viene definito così:
$\{(3x^2 - 2\lambdax = 0), (3y^2 + 2\lambday = 0), (y^2 - x^2 -1 = 0):}$
Le due soluzioni di questo sistema sono: $S_1(0,1,-3/2), S_2(0,-1,3/2)$.
Costruisco la matrice Hessiana di L, che viene fuori essere:
$H(L) = [[6x-2\lambda, 0], [0, 6y+2\lambda]]$ il cui determinate è $detH = (6x-2\lambda) * (6y+2\lambda) - 0 = 36xy +12\lambdax - 12\lambday -4\lambda^2$
Per le due soluzioni trovate il determinate vale $detH(L(S_1)) = 9 = detH(L(S_2))$
I miei dubbi sono questi:
- come si fa a stabilire la tipologia di punti $P_1(0,1)$ e $P_2(0,-1)$ come estremi essendo i determinanti entrambi positivi?
- qualcuno riesce a ravvisare errori nei miei calcoli? Visto che seguendo la soluzione di altre persone il risultato del determinate viene fuori come $56/9$.
Grazie in anticipo per chiunque vorrà aiutarmi
avrei da proporvi un esercizio per il calcolo degli estremi vincolati, da risolversi con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$f(x,y) = x^3 + y^3 text{ con vincolo } y^2 - x^2 = 1$
Questa è il mio procedimento:
Pongo il vincolo = 0, ovvero $ y^2 - x^2 - 1 = 0$ e scrivo la funzione di Lagrange nei parametri di $text{x, y e} \lambda$ che si traduce in $L(x,y, \lambda) = x^3 + y^3 + \lambda(y^2 - x^2 - 1)$
Scrivo il gradiente di L: $text{grad} L = (3x^2 -2\lambdax)i + (3y^2 + 2\lambday)j$
Imposto il sistema con le due derivate parziali in x e y del gradiente e lo metto insieme al vincolo, che viene definito così:
$\{(3x^2 - 2\lambdax = 0), (3y^2 + 2\lambday = 0), (y^2 - x^2 -1 = 0):}$
Le due soluzioni di questo sistema sono: $S_1(0,1,-3/2), S_2(0,-1,3/2)$.
Costruisco la matrice Hessiana di L, che viene fuori essere:
$H(L) = [[6x-2\lambda, 0], [0, 6y+2\lambda]]$ il cui determinate è $detH = (6x-2\lambda) * (6y+2\lambda) - 0 = 36xy +12\lambdax - 12\lambday -4\lambda^2$
Per le due soluzioni trovate il determinate vale $detH(L(S_1)) = 9 = detH(L(S_2))$
I miei dubbi sono questi:
- come si fa a stabilire la tipologia di punti $P_1(0,1)$ e $P_2(0,-1)$ come estremi essendo i determinanti entrambi positivi?
- qualcuno riesce a ravvisare errori nei miei calcoli? Visto che seguendo la soluzione di altre persone il risultato del determinate viene fuori come $56/9$.
Grazie in anticipo per chiunque vorrà aiutarmi
Risposte
Puoi usare il metodo della matrice hessiana orlata. (http://www.statistica.unimib.it/utenti/ ... ti/MHO.pdf)
Stai operando sotto vincolo, quindi $ H=[ ( 0 , g_x , g_y ),( g_x , L_(x x) , L_(xy) ),( g_y , L_(yx) , L_(yy) ) ] $
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