Analisi 2:Dimostrare che $l^oo,l^1,l^2$ sono completi
Salve,da un po' ho iniziato la studio di analisi 2(sul Pagani-Salsa),e sono agli spazi funzionali.Fra gli esercizi che il libro propone c'è ne uno che mi ha dato un po' di problemi e non sono sicuro che la risoluzione che ho dato sia corretta.L'esercizio chiede di verificare se gli spazi $l^1,l^(oo),l^2$ sono completi.Per dimostrare questo,avevo pensato prima di vedere se almeno uno di loro fosse chiuso(per poter procedere con qualche teorema),ma se ho ragionato bene,nessuno di loro è un chiuso;quindi ho pensato di usare il seguente teorema:"Uno spazio metrico $(X,d)$ è completo se e solo se l'intersezione di una qualsiasi successione $C_1 sup C_2 sup ... sup C_n ...$ di chiusi non vuoti con diametro che tende a zero,è costituita da un solo punto."
Ora da quel che ho capito $l^1$ è l'insieme delle successioni in $RR$ la cui somma in valore assoluto delle componenti è limitata,quindi gli unici insiemi chiusi che mi vengono in mente sono gli insiemi delle successioni la cui somma delle componenti in valore assoluto è limitata in $[a/k,b/k]$.Da qui segue che per che $k$ che tende a infinito il diametro tende a zero e l'unico punto che rimane e la successione composta da soli zeri.Per gli altri due ho proceduto nello stesso modo.Il dubbio che però mi viene è che ci siano altri chiusi che renderebbero scorretta la dimostrazione.Se non vi dispiace qualcuno potrebbe dirmi se ho fatto bene la dimostrazioni,o se fosse parzialmente (o totalmente) sbagliata qualcuno potrebbe suggerirmi come "correggerla"(o farla)?
Ora da quel che ho capito $l^1$ è l'insieme delle successioni in $RR$ la cui somma in valore assoluto delle componenti è limitata,quindi gli unici insiemi chiusi che mi vengono in mente sono gli insiemi delle successioni la cui somma delle componenti in valore assoluto è limitata in $[a/k,b/k]$.Da qui segue che per che $k$ che tende a infinito il diametro tende a zero e l'unico punto che rimane e la successione composta da soli zeri.Per gli altri due ho proceduto nello stesso modo.Il dubbio che però mi viene è che ci siano altri chiusi che renderebbero scorretta la dimostrazione.Se non vi dispiace qualcuno potrebbe dirmi se ho fatto bene la dimostrazioni,o se fosse parzialmente (o totalmente) sbagliata qualcuno potrebbe suggerirmi come "correggerla"(o farla)?
Risposte
Perché non procedere mostrando che ogni successione di Cauchy è convergente?
perché non so bene come dimostrare che ogni successione converge,quindi ho optato per un altro metodo.
@mklplo: è troppo presto per questo esercizio. Prima devi imparare i fondamentali. Come tu stesso hai detto non hai chiaro neanche il concetto di successione convergente, che è molto più importante di quello di spazio completo.
Quanto al tentativo di svolgimento, è totalmente sbagliato sia dal punto di vista concettuale sia da quello computazionale. Butta via tutto e dedicati ad altro.
Quanto al tentativo di svolgimento, è totalmente sbagliato sia dal punto di vista concettuale sia da quello computazionale. Butta via tutto e dedicati ad altro.
Grazie per la risposta,il punto non è che non sappia il concetto di successione convergente,il problema è dimostrare che tutte le successioni sono convergenti(inoltre l'esercizio sta nello stesso capitolo della convergenza uniforme quindi pensavo che bastassero le nozione che il libro introduce per affrontare la dimostrazione).Per quanto riguarda il tentativo perché è totalmente sbagliato?L'errore sta nell'aver usato quel teorema in quel modo?
Se non ti dispiace,potresti spiegarmi dove ho sbagliato.
Se non ti dispiace,potresti spiegarmi dove ho sbagliato.
Non ha senso dire che uno spazio metrico è "chiuso". Tutti gli spazi metrici sono chiusi in sé stessi e questo non significa nulla. Quel teorema che hai menzionato non si usa in questo modo. Insomma, è chiaro che non hai capito i fondamentali dell'argomento e affrontare un esercizio così avanzato adesso è completamente fuori luogo. Come tentare di guidare un autobus senza sapere andare in bicicletta.
"dissonance":
Non ha senso dire che uno spazio metrico è "chiuso".
in realtà (anche se mi sono espresso male) stavo cercando di vedere se quello spazio fosse aperto o chiuso nello spazio $C^0(RR)$ con metrica lagrangiana(non in sè stesso,anche perchè in tal caso ogni spazio metrico è sia aperto che chiuso).
"dissonance":
Quel teorema che hai menzionato non si usa in questo modo.
Ma allora come si dovrebbe usare quel teorema(perché comunque anche se lo spazio metrico è sia chiuso che aperto,i suoi sottoinsiemi non sono obbligatoriamente chiusi e aperti,giusto?)?
Secondo te quale esercizio sarebbe adeguato a chi sta provando a studiare analisi 2(il libro riporta anche un altro esercizio che richiede l'uso del teorema delle contrazioni di Banach-Caccippoli per trovare il punto fisso di un applicazione che prende valori in \( C^0([0,1]) \) ,secondo te,è più vicino al livello di uno studente di analisi 2 oppure è più difficile di quello che sto facendo?)?
Scusa se ti faccio tante domande,ma se non ti reca disturbo,potresti rispondere?
Ho già risposto a tutte queste domande e ti ho già detto molte volte la mia opinione. La tua curiosità è ammirevole ma fuori luogo. Fai uno sforzo e mettila da parte, per tornare su queste cose a tempo debito.
Grazie per la risposta.
[ot]Grazie nuovamente per il consiglio,ma mettere a freno la mia curiosità è una cosa al limite dell'impossibile,ogni volta che ho provato,anche con le semplici cose che si studiano a scuola mi chiedevo(e mi chiedo) se si possa generalizzare ogni concetto e ogni teorema(anche se non ce ne sono chissà quanti),e questo in un modo dell'altro ti porta alla geometria proiettiva,ad analisi 1 e 2,alla teoria dei gruppi,etc...
Fin'ora l'unica cosa che sono riuscito a fare per quanto riguarda la mia curiosità è organizzarla in modo da seguire piano piano,passo dopo passo il programma universitario senza saltare troppo tappe.Per esempio ho riiniziato con la teoria degli insiemi,poi con analisi 1,algebra lineare,geometria 1 ora sto studiando analisi 2 e penso(se non riuscirò a controllare la mia curiosità) che studierò poi teoria dei gruppi,geometria 2,topologia generale,etc...
Anche perché se non mi metto a studiare matematica,io dalla mattina alla sera non faccio niente,(fattasi eccezione per quando il giorno dopo ho un compito o un'interrogazione di inglese),e in pratica spreco un'intera giornata.Inoltre quanto dimostro qualcosa mi sento molto soddisfatto anche se era banale(ovviamente più una cosa è difficile più sono soddisfatto quando la dimostro).
Per questi e altri motivi mi sto impegnando al massimo per comprendere ogni argomento al limite delle mie possibilità(dato che non posso resistere dallo studiare matematica,almeno provo a studiarla bene),e qualora ci fosse un esercizio o un concetto che sfugge alla mia comprensione chiedo aiuto sul forum.
In questo periodo ho anche provato a cercare tra i miei professori una guida(come consigliatomi da alcuni utenti sul forum),ma al massimo mi dicevano ti concentrarmi sulle cose che stiamo studiando in classe,non capendo che anche quelle cose mi spingono a studiare cose più avanzate(esempio:quando abbiamo iniziato a studiare le funzioni io ho usato alcuni teoremi di analisi 1 per evitare alcuni calcoli e anche le nozioni di limite e derivate per semplificarne altri).Quindi in sintesi se sapessi cosa fare per mettere a freno la mia curiosità lo farei ma non sono ancora riuscito a trovare un metodo(ho provato anche a concentrarmi su alcuni temi delle olimpiadi di matematica ed irrimediabilmente sono finito di nuovo ad usare concetti più avanzati di quelli richiesti),quando lo troverò forse riuscirò ad aspettare il momento giusto per studiare queste cose.
p.s:nella parte in spoiler ho messo la dimostrazione,se non ti dispiace,potresti controllarla?[/ot]
[ot]Grazie nuovamente per il consiglio,ma mettere a freno la mia curiosità è una cosa al limite dell'impossibile,ogni volta che ho provato,anche con le semplici cose che si studiano a scuola mi chiedevo(e mi chiedo) se si possa generalizzare ogni concetto e ogni teorema(anche se non ce ne sono chissà quanti),e questo in un modo dell'altro ti porta alla geometria proiettiva,ad analisi 1 e 2,alla teoria dei gruppi,etc...
Fin'ora l'unica cosa che sono riuscito a fare per quanto riguarda la mia curiosità è organizzarla in modo da seguire piano piano,passo dopo passo il programma universitario senza saltare troppo tappe.Per esempio ho riiniziato con la teoria degli insiemi,poi con analisi 1,algebra lineare,geometria 1 ora sto studiando analisi 2 e penso(se non riuscirò a controllare la mia curiosità) che studierò poi teoria dei gruppi,geometria 2,topologia generale,etc...
Anche perché se non mi metto a studiare matematica,io dalla mattina alla sera non faccio niente,(fattasi eccezione per quando il giorno dopo ho un compito o un'interrogazione di inglese),e in pratica spreco un'intera giornata.Inoltre quanto dimostro qualcosa mi sento molto soddisfatto anche se era banale(ovviamente più una cosa è difficile più sono soddisfatto quando la dimostro).
Per questi e altri motivi mi sto impegnando al massimo per comprendere ogni argomento al limite delle mie possibilità(dato che non posso resistere dallo studiare matematica,almeno provo a studiarla bene),e qualora ci fosse un esercizio o un concetto che sfugge alla mia comprensione chiedo aiuto sul forum.
In questo periodo ho anche provato a cercare tra i miei professori una guida(come consigliatomi da alcuni utenti sul forum),ma al massimo mi dicevano ti concentrarmi sulle cose che stiamo studiando in classe,non capendo che anche quelle cose mi spingono a studiare cose più avanzate(esempio:quando abbiamo iniziato a studiare le funzioni io ho usato alcuni teoremi di analisi 1 per evitare alcuni calcoli e anche le nozioni di limite e derivate per semplificarne altri).Quindi in sintesi se sapessi cosa fare per mettere a freno la mia curiosità lo farei ma non sono ancora riuscito a trovare un metodo(ho provato anche a concentrarmi su alcuni temi delle olimpiadi di matematica ed irrimediabilmente sono finito di nuovo ad usare concetti più avanzati di quelli richiesti),quando lo troverò forse riuscirò ad aspettare il momento giusto per studiare queste cose.
p.s:nella parte in spoiler ho messo la dimostrazione,se non ti dispiace,potresti controllarla?[/ot]
"mklplo":
In questo periodo ho anche provato a cercare tra i miei professori una guida(come consigliatomi da alcuni utenti sul forum),ma al massimo mi dicevano ti concentrarmi sulle cose che stiamo studiando in classe
Un ottimo consiglio, uguale a quello che ti hanno dato tutti
"mklplo":
(ho provato anche a concentrarmi su alcuni temi delle olimpiadi di matematica ed irrimediabilmente sono finito di nuovo ad usare concetti più avanzati di quelli richiesti)
e questo è profondamente sbagliato, devi sempre cercare la via più facile per risolvere il tuo problema.
A proposito come sono andate le olimpiadi? Sei riuscito a risolvere i quesiti?
La matematica è molto vasta e se vuoi fare qualcosa in più rispetto ai tuoi compagni non è necessario che ti dedichi a chissa cosa di analisi. Cosa ne pensi del calcolo combinatorio?
@gio73:Grazie per la risposta.
[ot]Per quanto riguarda le olimpiadi ho solo letto fatto gli esercizi online,mentre come gara ho partecipato al premio Morelli(e sono arrivato solo 8° a scuola,purtroppo sono andato in ansia e....).Invece per quanto riguardo il calcolo combinatorio non è che mi attiri poi così tanto(di solito preferisco le cose con meno conti e più logica,anche perché mi impegnano molto di più,e anche perché se fai un errore non ci vuole troppo tempo per correggerlo,ammesso che mi accorga dell'errore) tuttavia qualcosa(il minimo indispensabile) lo conosco.[/ot]
[ot]Per quanto riguarda le olimpiadi ho solo letto fatto gli esercizi online,mentre come gara ho partecipato al premio Morelli(e sono arrivato solo 8° a scuola,purtroppo sono andato in ansia e....).Invece per quanto riguardo il calcolo combinatorio non è che mi attiri poi così tanto(di solito preferisco le cose con meno conti e più logica,anche perché mi impegnano molto di più,e anche perché se fai un errore non ci vuole troppo tempo per correggerlo,ammesso che mi accorga dell'errore) tuttavia qualcosa(il minimo indispensabile) lo conosco.[/ot]
Ma sì dai, va bene un po' di impeto giovanile. Non sta correndo chissà che rischio. Poi è alle superiori e avrà tempo e modo per farsi male prima dell'università. Piano piano capirà che ci vuole pazienza in Matematica...
"mklplo":
Questa è un'altra prova di dimostrazione della completezza degli spazi $l^1,l^2,l^(oo)$ spero che almeno questa sia fatta bene(la dimostrazione è solo per $l^2$ ma penso si possa facilmente generalizzare):
Per iniziare prendiamo una successione di Cauchy ${x_k} \subset l^2$,per definizione $\forall \epsilon >0, \exists N \in NN:
\forall n,m >N, d(x_n,x_m)< \epsilon$ il che vuol dire che , \( \sqrt{\sum_{i=1}^{+\infty}|x_n^{i}-x_m^{i}|^2}<\epsilon \) ,quindi che \( \sum_{i=1}^{+\infty}|x_n^{i}-x_m^{i}|^2<\epsilon ^2 \),ora sapendo che \( |x_n^i-x_m^i|^2\leq\sum_{i=1}^{+\infty}|x_n^{i}-x_m^{i}|^2 \) possiamo scrivere \( |x_n^i-x_m^i|< \epsilon \) ,ma dato che $x_n^i$ e $x_m^i$ sono numeri reali allora la completezza di $RR$ ci assicura che ${x^i}_k$ converge ad $x^i$;e dato che questo vale per ogni $i$ allora ${x_k}$ converge ad $x$.Infine,non avendo usato alcuna proprietà della successione di partenza,allora la dimostrazione vale per ogni successione di Cauchy,e quindi $l^2$ è completo.
Se non vi reca disturbo,potreste dirmi se questa dimostrazione è corretta?
No, non è corretta, è incompleta perché va dimostrato che la successione converge a x nel senso di $\ell^2$. Ma non darò ulteriore feedback su questa domanda per i motivi che ho già detto.
ok,grazie per tutto l'aiuto che mi hai dato.
Io sono dell'idea che un buon matematico non è quello che con teoremi avanzati risolve problemi standard, ma piuttosto quello che con teoremi standard risolve problemi avanzati. (Rispondendo a quel tuo papiro sulla curiositá)
Grazie per aver risposto,comunque penso che uno una volta che un teorema è stato dimostrato(standard o avanzato che sia),possa usarlo per risolvere sia problemi semplici che complicati(ma questa è solo una mia opinione).
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