Analisi 2:coordinate cartesiane/polari
Buongiorno a tutti
Scusate,sto preparando analisi 2 .Esercitandomi ho imparato che per la risoluzione di integrali doppi ( ad esempio per il calcolo di volumi di clindroidi con generatrici parallele all'asse z compresi fra piano xy e parte di un paraboloide generico) conviene utilizzare le coordinate polari quando il mio dominio è costituito ad esempio da corone circolari,o da semicirconferenze.Tuttavia non sono stata in grado di trovare un criterio piu' rigoroso e meno empirico per capire subito quando conviene utlizzare le coordinate polari e quando invece convengono quelle cartesiane. Grazie a tutti e scusate la domanda scontata !
Scusate,sto preparando analisi 2 .Esercitandomi ho imparato che per la risoluzione di integrali doppi ( ad esempio per il calcolo di volumi di clindroidi con generatrici parallele all'asse z compresi fra piano xy e parte di un paraboloide generico) conviene utilizzare le coordinate polari quando il mio dominio è costituito ad esempio da corone circolari,o da semicirconferenze.Tuttavia non sono stata in grado di trovare un criterio piu' rigoroso e meno empirico per capire subito quando conviene utlizzare le coordinate polari e quando invece convengono quelle cartesiane. Grazie a tutti e scusate la domanda scontata !
Risposte
Ma diciamo che non esiste un criterio vero e proprio, si tartta di avere un minimo di occhio, e dopo che si fanno un pò di esercizi e si accumula un pò di esperienza non si dovrebbero avere più problemi.
Ovviamente ti stai riferendo a esercizi in cui è possibile trasformare il dominio in una corrispondente parametrizzazione polare, quindi ad esempio circonferenze ellissi, e rette che si intersecano...e tipicamente gli esercizi d' esame sono strutturati in modo tale che lo studente scelga la via più semplice per la risoluzione....tipicamente io la prima cosa che faccio osservo la f(x,y) ad esempio considera il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^()cos(x^2+y^2-pi) dx dy $ e sia $ D:{x^2+y^2<=4 } $
bè mi sembra evidente in questo caso che conviene risolvere con le cordinate polari, osserva f(x,y) nell'argomento del coseno compare il termine $x^2+y^2 $ e quindi sfruttando le proprietà trigonometriche quel termine ti diventerà banalmente un $rho$ (nel corrispettivo polare)...questo è un caso vermaente lampante...ma ti ripeto tutti gli esercizi sono strutturati in modo tale da rendersene conto immediatamente, per cui tu prima di tutto osservati f(x,y) e valuta tutte le possibili semplificazioni che potresti avere o complicazioni; infatti non è detto che le cordinate polari a volte semplifichino i calcoli, anzi....alla fine come sempre il modo migliore per uscirne e fare tanti esercizi e studiare diversi casi...ripeto una volta che ti sei fatta un bel training-set non avrai più dubbi su cosa utilizzare.
Ovviamente ti stai riferendo a esercizi in cui è possibile trasformare il dominio in una corrispondente parametrizzazione polare, quindi ad esempio circonferenze ellissi, e rette che si intersecano...e tipicamente gli esercizi d' esame sono strutturati in modo tale che lo studente scelga la via più semplice per la risoluzione....tipicamente io la prima cosa che faccio osservo la f(x,y) ad esempio considera il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^()cos(x^2+y^2-pi) dx dy $ e sia $ D:{x^2+y^2<=4 } $
bè mi sembra evidente in questo caso che conviene risolvere con le cordinate polari, osserva f(x,y) nell'argomento del coseno compare il termine $x^2+y^2 $ e quindi sfruttando le proprietà trigonometriche quel termine ti diventerà banalmente un $rho$ (nel corrispettivo polare)...questo è un caso vermaente lampante...ma ti ripeto tutti gli esercizi sono strutturati in modo tale da rendersene conto immediatamente, per cui tu prima di tutto osservati f(x,y) e valuta tutte le possibili semplificazioni che potresti avere o complicazioni; infatti non è detto che le cordinate polari a volte semplifichino i calcoli, anzi....alla fine come sempre il modo migliore per uscirne e fare tanti esercizi e studiare diversi casi...ripeto una volta che ti sei fatta un bel training-set non avrai più dubbi su cosa utilizzare.
Chiarissmo,grazie mille. Invece per quanto riguarda l'uso di coordinate cilindriche piuttosto che quelle sferiche nel calcolo dei volumi ,sono interscambiabili?
bè o dio direi proprio di no, partono da presupposti totalmente differenti, ti linko questa pagina dove trovi ulteriori chiarimenti in merito: https://www.matematicamente.it/formulari ... 803242652/
Quindi ad esempio se mi serve il volume di un dominio interno a una sfera ed esterno a un cono sfrutto le coordinate cilindriche mentre se sfrutto un dominio compreso fra una sfera e due superfici mi conviene utillizzare le coordinate sferiche? Insomma è ancora solo questione di " farci l'occhio "? Grazie ancora comunque!
esatto!! dipende sempre da quello che ci devi fare
ok grazie mille! ( e speriamo bene)
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