[Analisi 2]continuità, derivabilità, differenziabilità di una funzione

[Valchiria1]

Salve, avrei questo esercizio da risolvere:
$ f(x,y)={(\frac{1-cosx}{|x|+y^2},if (x,y)!=0),(text{0},if (x,y)=0):} $

a)si stabilisca se f è continua in (0,0).
b)si stabilisca se esistono le derivate parziali di f in (0,0) e qualora esistano, le si calcoli.
c) si stabilisca se f è differenziabile in (0,0).

a) Devo verificare che:
$ lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)=0 $
Avevo provato a procedere per maggiorazioni:

$ |\frac{1-cosx}{|x|+y^2}|<=|(1-cosx)|<=1/2x^2 $

Arrivando ad affermare così che f tende a zero e quindi è continua in (0,0), il professore però mi ha segnalato ciò come errore e che la disuguaglianza non è vera. Perchè?
Posso considerare:
$ |\frac{1-cosx}{|x|+y^2}|<=\frac{|(1-cosx)|}{|x|)rarr 0 (x rarr 0) $ ?
Non riesco proprio a dimostrare la continuità/non continuità in altri modi.

b) Penso sia giusto dire che le derivate parziali non esistono perchè risulta
Derivata parziale rispetto ad x:
$ lim_(h->0)((f(h,0)-f(0,0))/h)=(1-cosh)/(|h|h) $
Quindi ottengo $ 1/2 $ per $ h->0^+ $
invece $-1/2$ per $ h->0^- $

c)Non è differenziabile perchè le derivate parziali non esistono.
Potete aiutarmi per favore?

[anto_zoolander]

Ciao e benvenut*!

E' chiaro che quella maggiorazione non è buona(la prima), altrimenti dovrebbe essere $|x|+y^2geq1$ cosa che non è vera(nel nostro caso). La seconda che hai considerato invece va benissimo in quanto

$y^2geq0 => |x|+y^2geq|x| => 1/(|x|+y^2)leq1/(|x|)$ se $x,yne0$

pertanto essendo $|1-cosx|geq0$ puoi effettuare la maggiorazione

$|(1-cosx)/(|x|+y^2)|leq|(1-cosx)/x|$ se $x,yne0$

pertanto per confronto quella di sinistra converge a zero per $(x,y)->(0,0)$ di fatto

ricorda che se $E$ è spazio euclidei $UsubseteqE$ non vuoto $f,g,h:U->RR$ funzioni e preso un punto $P in U$ di accumulazione per $U$

$g(X)leqf(X)leqh(X), forallX in U$

$existsl in RR: lim_(X->P)g(X)=lim_(X->P)h(x)=l => f(X) -> l$

di fatto basta considerare che per ogni $epsilon>0$ puoi trovare un $delta>0$ tale per cui

$0<||vec(PX)|| l-epsilon

quello che si è fatto è di considerare una funzione $g$ tale che $|f(X)|leqg(X)->0$
se gli spazi euclidei non ti sono familiari, puoi sostituire con $RR^n$
(perchè tutti gli spazi affini di dimensione $n$ sono affinemente isomorfi a $RR^n$)

$(1-cosx)/x=x*(1-cosx)/x^2->0*1/2=0$

quindi è continua.

Il secondo punto è corretto, già lungo il vettore $hat(i)=(1,0)$ la funzione non è derivabile.

Per il terzo punto, prima di concludere, voglio farti una domanda:
Anche se quella derivata parziale non esiste, la funzione potrebbe essere lo stesso differenziabile?

[suggerimento]: che proprietà ha il differenziale di una funzione?

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[Valchiria1]

Innanzitutto grazie per la risposta!
Ok per il primo punto ci sono, però non capisco cosa intendi qui:

Il secondo punto è corretto, già lungo il vettore $hat(i)=(1,0)$ la funzione non è derivabile.

Cioè posso considerare una funzione
$ g(x)=f(x,0)=\frac{1-cosx}{|x|} $
che, data la presenza del modulo, mi dà due limiti diversi? Un po' come avevo scritto all'inizio?

Per il terzo punto, prima di concludere, voglio farti una domanda:
Anche se quella derivata parziale non esiste, la funzione potrebbe essere lo stesso differenziabile?

[suggerimento]: che proprietà ha il differenziale di una funzione?

Inizialmente avevo pensato di giustificare la non derivabilità con il teorema del differenziale totale che afferma che se ho una funzione che ammette tutte le derivate parziali e queste sono continue allora è differenziabile; cosa che in questo caso non è verificata.
Da quello che ho studiato a lezione il differenziale $ df(x) $ è una funzione lineare $ df:R^nrarr R^q $ tale che:

$ f(x+h)-f(x)-df(x)[h]=o(||h||) $

Una funzione è differenziabile in un punto $ x_0 $ $ hArr $ esistono tutte le derivate parziali di f in quel punto e vale che $ f(x_0+h)=f(x_0)+J_f(x_0)h+o(||h||) $
dove $ J_f(x_0)h=df(x_0)[h] $

Direi che la funzione non potrebbe essere lo stesso differenziabile, data la presenza della matrice Jacobiana nella relazione..(?)

[anto_zoolander]

Intendo semplicemente che il limite $lim_(t->0)(f((0,0)+t(1,0))-f(0,0))/t$ non esiste.
Sarebbe 'la derivata lungo la direzione $(1,0)$. Che è quanto hai affermato tu

Non entriamo in sottigliezze sul differenziale(se hai dubbi teorici in merito puoi aprire un post dedicato a questo), perchè si possono spendere moltissime parole.
Per funzioni $f:E->RR$ dove $EsubseteqRR^n$ con $E$ aperto e $x_0 in E$ la funzione si dice differenziabile se esiste una applicazione lineare $L:RR^n->RR$

$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))/(||h||)=0$

la proprietà di cui ti parlavo era la seguente(che segue proprio dalla definizione stessa di funzione differenziabile): preso un qualsiasi vettore $v$ la derivata direzionale di $f$ lungo $v$ è proprio il valore $L(v)$ ossia

$lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=L(v)$

pertanto se fosse differenziabile preso $hat(i)=(1,0)$ si dovrebbe avere

$lim_(t->0)(f(x_0+that(i))-f(x_0))/t=L(hat(i))$

cosa che non può accadere poichè quel limite non esiste. In generale basta che non esista almeno una derivata direzionale per garantire la non differenziabili per questa 'piccola' cosa.

[Valchiria1]

Si ora ho presente, sarebbe a dire che se una funzione è differenziabile in un punto allora esistono tutte le derivate direzionali della funzione in quel punto, ma in questo caso si trova una direzione per cui non è vero.
Grazie infinite

[anto_zoolander]

Bravissim* è proprio quello a cui volevo arrivassi
I differenziali sono oggetti delicati, ma abbastanza potenti.