[ANALISI 2] Trovare gli estremi liberi (max e min)

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14 ott 2015, 13:06

Salve, devo trovare gli estremi liberi di questa funzione:

$ylog(1+x^2)+x^3$

Non riesco a definire il punto in nessun modo.
Studio dove il gradiente si annulla:

${ ( (2xy)/(1+x^2)+3x^2=0 ),( log(1+x^2)=0 ):}$

Se soluzioni sono $x=0,y=0$
Poi calcolo il determinante dell'hessiano che mi viene nullo.
Quindi provo con il metodo del differenziale:
$ \triangle f= f(x,y)-f(0,0) $ Ma non riesco a concludere nulla.
Ho provato anche il metodo di restrizione sulla rette, ma non riesco a trarre nessuna conclusione.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie.

Risposte

m45511

14 ott 2015, 14:51

"TeM":
Dunque, data la funzione $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da \[ f(x,\,y) := x^3 + y\,\log\left(1 + x^2\right) \] i propri punti stazionari sono quelli tali per cui \[ \nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} 3\,x^2 + \frac{2\,x\,y}{1 + x^2} = 0 \\ \log\left(1 + x^2\right) = 0 \end{cases} \] ossia tutti i punti appartenenti alla retta di equazione cartesiana $x = 0$.

A questo punto, notando che:

[*:3vgaotla] $f(0,\,y) \ge f(x,\,y)$ per $\forall\,x,y \in$ intorno di $(0,\,y)$, con $y < 0$, tali punti sono di massimo relativo per $f$;

[/*:m:3vgaotla]
[*:3vgaotla] $f(0,\,y) \le f(x,\,y)$ per $\forall\,x,y \in$ intorno di $(0,\,y)$, con $y > 0$, tali punti sono di minimo relativo per $f$;

[/*:m:3vgaotla]
[*:3vgaotla] alla luce dei punti precedenti, $(0,\,0)$ è per definizione punto di sella per $f$.[/*:m:3vgaotla][/list:u:3vgaotla]
Tutto qui.