[analisi 2] teorema del differenziale totale

[enr87]

ho trovato due enunciati diversi del suddetto teorema, che però non mi sembrano equivalenti.
nel primo si afferma che se esiste un intorno U di x nel quale f è derivabile e se le derivate parziali sono continue nel punto x, allora f è differenziabile in x.
nel secondo invece si dice che se esistono e sono continue le derivate parziali in tutto l'intorno di x, allora la funzione è differenziabile.

sinceramente non mi sembra ragionevole la prima: pensate di stendere un lenzuolo sopra due assi perpendicolari (x e y) e considerate la funzione ottenuta dalla forma assunta dal lenzuolo stesso. sia x0 = (0, 0) cioè l'origine. le derivate parziali in O esistono e sono continue, mentre sono discontinue se mi sposto solo lungo l'asse x o solo lungo l'asse y (cioè in un intorno di x0), quindi non trovo un piano che approssimi la funzione. solo considerando il secondo enunciato le cose tornano. sbaglio qualcosa?
grazie a tutti

[enr87]

su questo concordo.
ora ho un altro dubbio: sto studiando la differenziabilità di una funzione f(x,y) nell'origine, e volevo vedere se riuscivo a sfruttare il teorema del differenziale totale. praticamente mi ritrovo ad avere che le derivate parziali non esistono in O (avrei uno 0 al denominatore), però esiste il loro limite per (x,y) che tende a (0,0). in questi casi cosa si fa? ho pensato che potrei estendere l'esistenza della derivata anche nell'origine, in maniera tale che essa sia continua, e quindi dedurre la differenziabilità. ma questa è un'operazione lecita?
vi ringrazio nuovamente

problema risolto, potete chiudere