Analisi 2: serie di potenze
Determinare insieme di convergenza puntuale, uniforme e totale della serie
\(\displaystyle Σ [2^n * e^{nx}]/n^2 \)
ho provato innanzitutto a vedere dove non c'è convergenza puntuale, usando la condizione necessaria. Ho visto che la serie non converge per x>=0
Tuttavia dopo ho visto che l'esercizio poteva essere svolto anche come serie di potenze. Così ho usato il criterio del confronto per stabilire il raggio di convergenza e ho visto, facendo le dovute sostituzioni e^x=t, che l'intervallo di convergenza è (0, log 1/2]
Come è possibile se nel primo caso l'avevo escluso?
\(\displaystyle Σ [2^n * e^{nx}]/n^2 \)
ho provato innanzitutto a vedere dove non c'è convergenza puntuale, usando la condizione necessaria. Ho visto che la serie non converge per x>=0
Tuttavia dopo ho visto che l'esercizio poteva essere svolto anche come serie di potenze. Così ho usato il criterio del confronto per stabilire il raggio di convergenza e ho visto, facendo le dovute sostituzioni e^x=t, che l'intervallo di convergenza è (0, log 1/2]
Come è possibile se nel primo caso l'avevo escluso?
Risposte
Non so cosa tu abbia fatto prima , però dando un occhiata a quello che hai scritto secondo te $log(1/2)>0$?
E' vero! Dovevo scrivere [log 1/2 , 0). Però comunque non si è risolto il problema.
"Lightmind":
ho provato innanzitutto a vedere dove non c'è convergenza puntuale, usando la condizione necessaria. Ho visto che la serie non converge per x>=0
Vero. Ma la condizione necessaria vale per tutti gli \(x\) negativi? Prova con \(\log{2/3}\). E comunque la condizione necessaria e' solo necessaria. Anche se da qui a fare una maggiorazione conveniente ci si mette due secondi.
Quello che credo tu abbia fatto sia stato riconoscere che per \(x < 0\) l'\(\exp\) va a zero come un pazzo ... Peccato ci sia quel \(2^n\) che tira su il morale.
EDIT: per quel che mi riguarda scriverei
\[\sum \frac{[2 e^x]^n}{n^2} \equiv \sum \frac{1}{c^n \cdot n^2} \le \sum \frac{1}{n^2} \qquad c := 1/{2e^x} \;|\; c > 1\]
EDIT2: corretto errore.
"giuscri":[/quote]
[quote="Lightmind"]
EDIT: per quel che mi riguarda scriverei
\[\sum \frac{[2 e^x]^n}{n^2} \equiv \sum \frac{1}{c^n \cdot n^2} \le \sum \frac{1}{n^2} \qquad c := 1/{2e^x} \;|\; c < 1\]
tu dici che per x negativo \(\displaystyle c := 1/{2e^x} , c^n < 1 \) ?
"Lightmind":
tu dici che per x negativo \(\displaystyle c := 1/{2e^x} , c^n < 1 \) ?
No?
perchè 2^n andrebbe più velocemente a + infinito di e^(2/n) vero?
Sto cercando di fare mente locale
Sto cercando di fare mente locale
Ops, scusami: ho la testa fra le nuvole. Ho corretto il messaggio sopra. Quello che volevo dire e' che per avere convergenza sei interessato ai casi in cui
\[(2e^x)^n \to 0\]
ma questo accade quando
\[(0 <)\, 2e^x < 1\]
cioe' quando \(2e^x\) e' uno sporchino fra il dito* \(0\) e il dito \(1\); cioe' quando
\[\exists c\,:\,2e^x = 1/c\]
con \(c\) chiaramente piu' grande di \(1\) -era qui l'errore che facevo prima.
In questo caso particolare poi hai al denominatore un \(n^2\) che ti permette di avere convergenza anche quando
\[2e^x \equiv 1 \Leftrightarrow x = \log{1/2}\]
Quindi in definitiva concluderei: convergenza puntuale in
\[E := \{x \in \mathbb{R} \,:\, x \le \log{1/2}\}\]
___
* Con dita intendo quelle dei piedi. Non so perche' questa immagine. Ormai la lascio.
\[(2e^x)^n \to 0\]
ma questo accade quando
\[(0 <)\, 2e^x < 1\]
cioe' quando \(2e^x\) e' uno sporchino fra il dito* \(0\) e il dito \(1\); cioe' quando
\[\exists c\,:\,2e^x = 1/c\]
con \(c\) chiaramente piu' grande di \(1\) -era qui l'errore che facevo prima.
In questo caso particolare poi hai al denominatore un \(n^2\) che ti permette di avere convergenza anche quando
\[2e^x \equiv 1 \Leftrightarrow x = \log{1/2}\]
Quindi in definitiva concluderei: convergenza puntuale in
\[E := \{x \in \mathbb{R} \,:\, x \le \log{1/2}\}\]
___
* Con dita intendo quelle dei piedi. Non so perche' questa immagine. Ormai la lascio.
"giuscri":
Ops, scusami: ho la testa fra le nuvole. Ho corretto il messaggio sopra. Quello che volevo dire e' che per avere convergenza sei interessato ai casi in cui
\[(2e^x)^n \to 0\]
ma questo accade quando
\[(0 <)\, 2e^x < 1\]
cioe' quando \(2e^x\) e' uno sporchino fra il dito* \(0\) e il dito \(1\); cioe' quando
\[\exists c\,:\,2e^x = 1/c\]
con \(c\) chiaramente piu' grande di \(1\) -era qui l'errore che facevo prima.
In questo caso particolare poi hai al denominatore un \(n^2\) che ti permette di avere convergenza anche quando
\[2e^x \equiv 1 \Leftrightarrow x = \log{1/2}\]
Quindi in definitiva concluderei: convergenza puntuale in
\[E := \{x \in \mathbb{R} \,:\, x \le \log{1/2}\}\]
___
* Con dita intendo quelle dei piedi. Non so perche' questa immagine. Ormai la lascio.
Concordo , inoltre la serie converge assolutamente per $2{e^{|x|}} < 1$
"giuscri":
Ops, scusami: ho la testa fra le nuvole. Ho corretto il messaggio sopra. Quello che volevo dire e' che per avere convergenza sei interessato ai casi in cui
\[(2e^x)^n \to 0\]
ma questo accade quando
\[(0 <)\, 2e^x < 1\]
cioe' quando \(2e^x\) e' uno sporchino fra il dito* \(0\) e il dito \(1\); cioe' quando
\[\exists c\,:\,2e^x = 1/c\]
con \(c\) chiaramente piu' grande di \(1\) -era qui l'errore che facevo prima.
In questo caso particolare poi hai al denominatore un \(n^2\) che ti permette di avere convergenza anche quando
\[2e^x \equiv 1 \Leftrightarrow x = \log{1/2}\]
Quindi in definitiva concluderei: convergenza puntuale in
\[E := \{x \in \mathbb{R} \,:\, x \le \log{1/2}\}\]
___
* Con dita intendo quelle dei piedi. Non so perche' questa immagine. Ormai la lascio.
Concordo , inoltre la serie converge assolutamente per $2{e^{|x|}} < 1$
"giuscri":
Ops, scusami: ho la testa fra le nuvole. Ho corretto il messaggio sopra. Quello che volevo dire e' che per avere convergenza sei interessato ai casi in cui
\[(2e^x)^n \to 0\]
ma questo accade quando
\[(0 <)\, 2e^x < 1\]
cioe' quando \(2e^x\) e' uno sporchino fra il dito* \(0\) e il dito \(1\); cioe' quando
\[\exists c\,:\,2e^x = 1/c\]
con \(c\) chiaramente piu' grande di \(1\) -era qui l'errore che facevo prima.
In questo caso particolare poi hai al denominatore un \(n^2\) che ti permette di avere convergenza anche quando
\[2e^x \equiv 1 \Leftrightarrow x = \log{1/2}\]
Quindi in definitiva concluderei: convergenza puntuale in
\[E := \{x \in \mathbb{R} \,:\, x \le \log{1/2}\}\]
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* Con dita intendo quelle dei piedi. Non so perche' questa immagine. Ormai la lascio.
Concordo , inoltre la serie converge assolutamente per $2{e^{|x|}} < 1$
Ora mi trovo! 
grazie per le risposte.
Alla prossima
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