Analisi 2, ricerca di massimi e minimi relativi.
Salve ragazzi.
Ho questa funzione in due variabili:
$f(x,y)=x^2y(x+y-1)^3$
e devo ricercare massimi e minimi relativi.
Ovviamente osservo che il dominio: $ID = R^2$ e la funzione di classe $C^oo$.
Calcolo le derivate parziali e vedo quando si annullano.
$ { ( f_x = 0 ),( f_y=0 ):} $ $hArr$ ${ ( xy(x+y-1)^2(5x+2y-2)= 0 ),( x^2(x+y-1)^2(x+4y-1)=0 ):}$ $hArr$
$ { (x = 0 ),( 0=0 ):} $ $vv$ ${ (x+y-1 = 0 ),( 0=0 ):}$ $vv$ ${ (x = 1/3 ),(y=1/6 ):}$
(I calcoli sono sicuramente esatti! potete fidarvi
)
Quindi ho due luoghi di punti critici e un punto critico isolato.
Per i due luoghi,applico la definizione tenendo conto del fatto che la funzione si annulla per $x=0$ e $x+y-1=0$,
quindi studio la disuguaglianza $f(x,y)>=0$.
Ottengo , con la regola del segno:
$x^2>=0$ $AAx$
$y>=0$
$x+y-1>=0$
cioè una situazione del genere:
Ora come faccio a studiare i segni,cioè come devo ragionare su questo grafico ottenuto??non mi ci trovo (non avevo mai applicato la regola del segno in due variabili!)
Se potete spiegare nella maniera più semplice possibile, ve ne sarò grato!
RICHIESTA PRINCIPALE: il punto $(0,0)$ è un punto di sella??
Spero di essere stato chiaro.
Ho questa funzione in due variabili:
$f(x,y)=x^2y(x+y-1)^3$
e devo ricercare massimi e minimi relativi.
Ovviamente osservo che il dominio: $ID = R^2$ e la funzione di classe $C^oo$.
Calcolo le derivate parziali e vedo quando si annullano.
$ { ( f_x = 0 ),( f_y=0 ):} $ $hArr$ ${ ( xy(x+y-1)^2(5x+2y-2)= 0 ),( x^2(x+y-1)^2(x+4y-1)=0 ):}$ $hArr$
$ { (x = 0 ),( 0=0 ):} $ $vv$ ${ (x+y-1 = 0 ),( 0=0 ):}$ $vv$ ${ (x = 1/3 ),(y=1/6 ):}$
(I calcoli sono sicuramente esatti! potete fidarvi
)Quindi ho due luoghi di punti critici e un punto critico isolato.
Per i due luoghi,applico la definizione tenendo conto del fatto che la funzione si annulla per $x=0$ e $x+y-1=0$,
quindi studio la disuguaglianza $f(x,y)>=0$.
Ottengo , con la regola del segno:
$x^2>=0$ $AAx$
$y>=0$
$x+y-1>=0$
cioè una situazione del genere:
Ora come faccio a studiare i segni,cioè come devo ragionare su questo grafico ottenuto??non mi ci trovo (non avevo mai applicato la regola del segno in due variabili!)
Se potete spiegare nella maniera più semplice possibile, ve ne sarò grato!
RICHIESTA PRINCIPALE: il punto $(0,0)$ è un punto di sella??
Spero di essere stato chiaro.
Risposte
Prendi un punto critico $(x_0, y_0)$ tale che $f(x_0, y_0) = 0$.
Se la funzione cambia segno in ogni intorno di tale punto, è chiaro che esso non può essere né di massimo né di minimo relativo (per definizione).
Questo avviene, ad esempio, per i punti critici che stanno sulla retta rossa e nell'origine.
Viceversa, se esiste un intorno in cui la funzione è sempre $\le 0$ [risp. $\ge 0$], allora il punto è di massimo [risp. minimo] relativo, sempre per definizione.
Questo avviene per i punti del tipo $(0,y)$, con $y\ne 0$ e $y\ne 1$.
L'ultimo punto critico $(1/3, 1/6)$ lo classifichi subito andando a considerare il triangolo chiuso di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ (chiamiamolo $T$).
Infatti $T$ è un insieme compatto; essendo $f$ continua, su tale insieme ammette massimo e minimo assoluto (per il teor. di Weierstrass).
Ma $f=0$ su $\partial T$ mentre $f<0$ su $T\setminus \partial T$. Di conseguenza il minimo assoluto deve stare nell'aperto $T\setminus\partial T$; l'unico candidato disponibile è $(1/3, 1/6)$, che quindi sarà punto di minimo relativo per $f$.
Se la funzione cambia segno in ogni intorno di tale punto, è chiaro che esso non può essere né di massimo né di minimo relativo (per definizione).
Questo avviene, ad esempio, per i punti critici che stanno sulla retta rossa e nell'origine.
Viceversa, se esiste un intorno in cui la funzione è sempre $\le 0$ [risp. $\ge 0$], allora il punto è di massimo [risp. minimo] relativo, sempre per definizione.
Questo avviene per i punti del tipo $(0,y)$, con $y\ne 0$ e $y\ne 1$.
L'ultimo punto critico $(1/3, 1/6)$ lo classifichi subito andando a considerare il triangolo chiuso di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ (chiamiamolo $T$).
Infatti $T$ è un insieme compatto; essendo $f$ continua, su tale insieme ammette massimo e minimo assoluto (per il teor. di Weierstrass).
Ma $f=0$ su $\partial T$ mentre $f<0$ su $T\setminus \partial T$. Di conseguenza il minimo assoluto deve stare nell'aperto $T\setminus\partial T$; l'unico candidato disponibile è $(1/3, 1/6)$, che quindi sarà punto di minimo relativo per $f$.
Rigel scusa, ma per tutte le $y<0$ non avremmo minimo relativo? poichè in un intorno dei punti abbiamo che la funzione è sempre $>= 0$ come hai detto tu.
Certo.
Hai minimi relativi su tutti i punti $(0,y)$ con $y<0$ e $y>1$, mentre hai punti di massimo relativo quando $0
Hai minimi relativi su tutti i punti $(0,y)$ con $y<0$ e $y>1$, mentre hai punti di massimo relativo quando $0
Grazie mille!
Mentre nel punto $y=0$ non avrei anche lì un punto di sella (oltre che in $y=1$)?
Nella soluzione si considera punto di sella solo $y=1$ sulla retta $x=0$, e ovviamente tutti i punti sulla retta $x+y-1=0$
Mentre $y=0$ cioè il punto $(0,0)$ non viene classificato, perchè?
Un'altra cosa.
Come hai fatto a dire subito che quel triangolo è un insieme compatto?
Mentre nel punto $y=0$ non avrei anche lì un punto di sella (oltre che in $y=1$)?
Nella soluzione si considera punto di sella solo $y=1$ sulla retta $x=0$, e ovviamente tutti i punti sulla retta $x+y-1=0$
Mentre $y=0$ cioè il punto $(0,0)$ non viene classificato, perchè?
Un'altra cosa.
Come hai fatto a dire subito che quel triangolo è un insieme compatto?
$(0,0)$ e $(0,1)$ non sono punti di estremo relativo.
[Io preferisco non usare il termine "punti di sella", perché la definizione varia da libro a libro. Per molti autori un punto di sella è un punto critico dove la matrice hessiana ha autovalori sia positivi che negativi. Se invece per te "punto di sella" significa punto stazionario che non è di estremo relativo, puoi tranquillamente continuare a usare quella terminologia.]
Il triangolo $T$ è compatto dal momento che è un sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^2$.
La limitatezza è ovvia; la chiusura può essere dimostrata in vari modi (ivi compresa la definizione), oppure osservando che $T = C_1\cap C_2 \cap C_3$, dove
$C_1 = \{(x,y): x+y-1 \le 0\}$,
$C_2 = \{(x,y): x \ge 0\}$,
$C_3 = \{(x,y): y \ge 0\}$.
Questi tre insiemi sono chiusi dal momento che, se $g: RR^2\to RR$ è una funzione continua, allora tutti i sottolivelli $\{g \le c\}$ e $\{g\ge c\}$ sono insiemi chiusi per ogni $c\in RR$; inoltre, l'intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.
[Io preferisco non usare il termine "punti di sella", perché la definizione varia da libro a libro. Per molti autori un punto di sella è un punto critico dove la matrice hessiana ha autovalori sia positivi che negativi. Se invece per te "punto di sella" significa punto stazionario che non è di estremo relativo, puoi tranquillamente continuare a usare quella terminologia.]
Il triangolo $T$ è compatto dal momento che è un sottoinsieme chiuso e limitato di $RR^2$.
La limitatezza è ovvia; la chiusura può essere dimostrata in vari modi (ivi compresa la definizione), oppure osservando che $T = C_1\cap C_2 \cap C_3$, dove
$C_1 = \{(x,y): x+y-1 \le 0\}$,
$C_2 = \{(x,y): x \ge 0\}$,
$C_3 = \{(x,y): y \ge 0\}$.
Questi tre insiemi sono chiusi dal momento che, se $g: RR^2\to RR$ è una funzione continua, allora tutti i sottolivelli $\{g \le c\}$ e $\{g\ge c\}$ sono insiemi chiusi per ogni $c\in RR$; inoltre, l'intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.
Considero l'asse $y $ ($x=0$) luogo di punti critici, di che natura ?
Esamino il segno di $f(x,y)$ attorno all'asse $y$ .
Distinguo tre situazioni :
a) $-oo0 $ sia a destra che a sinistra dell'asse , quindi sono punti di minimo.
b) $00 $ sia a dx che a sx dell'asse e quindi son punti di minimo.
Esamino il segno di $f(x,y)$ attorno all'asse $y$ .
Distinguo tre situazioni :
a) $-oo
b) $0
OK.
Il mio libro intende per punti di sella, tutti quei punti che non sono nè di massimo e ne di minimo relativo.
Cioè quei punti in cui il determinante della matrice hessiana è $<0$
Fin qui tutto ok.
Il fatto è che nell'esercizio, che vi ho proposto, io direi che i punti di sella sono due e cioè:
il punto $(0,1)$ e il punto $(0,0)$
Poichè, in effetti, in un intorno di questi punti la funzione cambia segno!
Ma il libro definisce come punto di sella solo il punto $(0,1)$.
E il punto $(0,0)$?? Non è di sella anche quello?
Forse dimentico qualcosa.
Grazie in anticipo , a chi riuscirà a farmi capire dove sbaglio!
Il mio libro intende per punti di sella, tutti quei punti che non sono nè di massimo e ne di minimo relativo.
Cioè quei punti in cui il determinante della matrice hessiana è $<0$
Fin qui tutto ok.
Il fatto è che nell'esercizio, che vi ho proposto, io direi che i punti di sella sono due e cioè:
il punto $(0,1)$ e il punto $(0,0)$
Poichè, in effetti, in un intorno di questi punti la funzione cambia segno!
Ma il libro definisce come punto di sella solo il punto $(0,1)$.
E il punto $(0,0)$?? Non è di sella anche quello?
Forse dimentico qualcosa.
Grazie in anticipo , a chi riuscirà a farmi capire dove sbaglio!
"Mathcrazy":E no, è proprio questo il problema a cui si riferiva Rigel. Un punto stazionario che non sia di massimo né di minimo potrebbe avere determinante Hessiano nullo (in ipotesi di regolarità, si intende). Esempio: $f(x, y)=(xy)^3$. E' chiaro che $(x, y)=(0,0)$ non è minimo né massimo relativo (in ogni intorno di questo punto la funzione assume valori di segno diverso), ma il determinante Hessiano calcolato in questo punto è nullo.
OK.
Il mio libro intende per punti di sella, tutti quei punti che non sono nè di massimo e ne di minimo relativo.
Cioè quei punti in cui il determinante della matrice hessiana è $<0$
Questo vuol dire che tra gli autovalori della matrice Hessiana compare anche lo zero, e che non necessariamente ci sono autovalori di segno discorde (nell'esempio l'unico autovalore è $0$). Secondo alcuni autori, in questo caso non si parla di "sella", secondo altri sì, insomma c'è confusione.
eh ma allora nel mio caso, il punto $(0,0)$ (in cui la funzione è definita) non è di massimo, non è di minimo, non è di sella. però è un punto critico.
C'è qualcosa che non torna.
Cioè cosa mi rappresenta $(0,0)$?
Poi io so che se l'hessiano è nullo. abbiamo un caso dubbio. basta poi applicare la definizione e vedere cosa succede.
Tuttavia, in questo esercizio, ho evitato di calcolare l'hessiano, poiche le derivate parziali seconde sarebbero state parecchio lunghe,come potevo accorgermi di questa particolarità?
ps. LA ricerca dei massimi e minimi relativi noi la facciamo senza gli autovalori, ma trovando le derivate parziali prime, seconde e l'hessiano (dobbiamo ancora arrivarci al calcolo con autovalori.)
Queste discordanze tra testi e autori mi sconcertano!
C'è qualcosa che non torna.
Cioè cosa mi rappresenta $(0,0)$?
Poi io so che se l'hessiano è nullo. abbiamo un caso dubbio. basta poi applicare la definizione e vedere cosa succede.
Tuttavia, in questo esercizio, ho evitato di calcolare l'hessiano, poiche le derivate parziali seconde sarebbero state parecchio lunghe,come potevo accorgermi di questa particolarità?
ps. LA ricerca dei massimi e minimi relativi noi la facciamo senza gli autovalori, ma trovando le derivate parziali prime, seconde e l'hessiano (dobbiamo ancora arrivarci al calcolo con autovalori.)
Queste discordanze tra testi e autori mi sconcertano!
Va bene, lascia perdere gli autovalori. Quando studierai (probabilmente nei corsi di Geometria) il teorema spettrale, vedrai come la matrice Hessiana, essendo simmetrica, è diagonalizzabile con base ortonormale; questo te ne darà una simpatica interpretazione geometrica.
Comunque, se il tuo corso chiama "punti di sella" i punti stazionari che non sono massimi né minimi, tu usa pure questa notazione. Rimarco però che non puoi dire
Queste discordanze tra testi e autori mi sconcertano!Meglio farci l'abitudine!
Comunque, se il tuo corso chiama "punti di sella" i punti stazionari che non sono massimi né minimi, tu usa pure questa notazione. Rimarco però che non puoi dire
punti che non sono nè di massimo e ne di minimo relativo.qualunque definizione tu adotti.
Cioè quei punti in cui il determinante della matrice hessiana è <0
ok, però il punto $(0,0)$, nel mio caso, come lo considero?
ps. ho studiato, a parte, la diagonalizabilità di una matrice, quindi questo concetto l'ho colto
ps. ho studiato, a parte, la diagonalizabilità di una matrice, quindi questo concetto l'ho colto
Visto che questa discussione è stata opportunamente richiamata da leena, aggiungo che condivido quanto detto da Rigel e da dissonance sulla mutevolezza della def di punto di sella, a seconda del libro o del prof che la esprimono. La "mia" definizione è ancora diversa da quella citata qui 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo