[Analisi 2] Problema con eq. differenziale del 1° ordine

[Alxxx28]

Questa è l' equazione:

$y'+xy = (x+1)e^x$
si risolve con il metodo del fattore integrante?
perchè a un certo un punto ho problemi

grazie in anticipo!

[LipschitzianaMente]

Prima risolvi l'omogenea associata. Poi poni $bar y=x^n(ax+b)e^x$ dove n è la molteplicità di 1 rispetto alla soluzione dell'omogeneo associato, poi derivi y segnato e sostituisci in modo da trovarti A che sostituita in y segnato ti porta all'integrale particolare da sommare con quello dell'omogeneo..DOVREBBE essere così.

[Alxxx28]

"LipschitzianaMente":Prima risolvi l'omogenea associata. Poi poni $bar y=x^n(ax+b)e^x$ dove n è la molteplicità di 1 rispetto alla soluzione dell'omogeneo associato, poi derivi y segnato e sostituisci in modo da trovarti A che sostituita in y segnato ti porta all'integrale particolare da sommare con quello dell'omogeneo..DOVREBBE essere così.

il problema nasce dal fatto che c'è la x al primo membro. Si può usare lo stesso il metodo da te descritto?

[_Tipper]

Usa la formula risolutiva.

$y' = \alpha(x) y + \beta(x)$

$y(x) = e^{A(x)} [C + \int \beta(x) e^{-A(x)} dx]$

dove $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$.

[alle.fabbri]

purtroppo non mi ricordo il metodo del fattore integrante, quindi se vuoi un parere mi sa che devi entrare nel dettaglio delle formule. Però posso suggerirti prima di provare con qualche cambio di variabile..... non so, così ad occhio, prova $y = u e^x$....

[LipschitzianaMente]

Credo di sì. Comunque Maple mi dà questa soluzione, vedi se ti trovi, casomai te la risolvo io a mano, magari lunedì pomeriggio.

$y(x) = xe^x-x^2y+C_1$ Personalmente la ritengo una soluzione un pò stramba.

[alle.fabbri]

se vuoi evitare il fattore integrante, puoi provare facendo la sostituzione $y(x) = v(x) e^x$ e ottieni
$v' e^x + v e^x + x v e^x = (x + 1) e^x$
cioè
$[ v' + v ( x + 1 ) ] e^x = (x + 1) e^x$
$ v' + v (x + 1) = (x + 1)$
così è già più fattibile...

[Alxxx28]

ok grazie mille