[ANALISI 2] Parametrizzazione superficie cartesiana

[m45511]

Salve, ho dei problemi che riguardano le parametrizzazioni delle superfici cartesiane. Non sempre riesco a capire come fare.

Sia S la superficie di grafico $z=x^2 + y^2 $ con $ x^2+y^2<=1$
Calcolare il flusso di $E=(x,0,y+z)$

La superficie è cartesiana, quindi:
$ { ( x=u ),( y=v ),( z=u^2+v^2 ):} $ allora $ (u,v,u^2+v^2) $ con $ (u,v)€ R^2 : u^2+v^2=1 $
Fino qui tutto bene.

Ma con questa superficie INVECE:
$x^2 + y^2 +3z^4 =1 $ con $ z>=0 $

$ { ( x=u ),( y=v ),( 3z^4=1-u^2+v^2 ):} $
Come devo procedere alla parametrizzazione?
Quel $z^4$ mi blocca.
Grazie per l'aiuto

[m45511]

Non riesco nemmeno a procedere con questa
$E={x^2+y^2 <= z <= 1-(x^2+y^2)} $

[dan952]

Io farei così, per la prima:
${(x=u),(y=v),(z=\root[4]{\frac{1-u^2-v^2}{3}}\ (z \geq 0)):}$
La seconda: coordinate cilindriche

[m45511]

Si anche a me la z usciva in quel modo. Ma poi per carlcolare il flusso devo fare una derivata parziale della radice quarta. Quando paranetrizzndo e passo alle coordinate cilindriche, dove lo metto lo jacobiano? Dentro l'integrale del flusso?
Grazie

[m45511]

"m4551":Non riesco nemmeno a procedere con questa
$E={x^2+y^2 <= z <= 1-(x^2+y^2)} $

Non riesco a parametrizzare. Qualcuno può aiutarmi?

[dan952]

${(x=\rho \cos(\theta)),(y=\rho \sin(\theta)),(z=z):}$
Dove $\theta \in [0,2\pi)$ e $0 \leq \rho \leq \sqrt(2)/2$

[dan952]

No non devi mettere lo jacobiano perché non c'è stato un cambiamento di coordinate

[m45511]

"dan95":${(x=\rho \cos(\theta)),(y=\rho \sin(\theta)),(z=z):}$
Dove $\theta \in [0,2\pi)$ e $0 \leq \rho \leq \sqrt(2)/2$

Perdonami per il disturbo, volevo chiederti l'ultima cosa.
$ \sqrt(2)/2 $ come lo hai calcolato?
$ \rho $ non dovrebbe essere: $\rho =sqrt( x^2+y^2+z^2) $ ?
Per caso hai fatto:
$\rho =sqrt( x^2+y^2)/(x^2+y^2) $ ?
Anche se in questa ultima formula, non ci vedo molto senso.
Fammi sapere!

Grazie

[dan952]

Poiché $x^2+y^2 \leq z \leq 1-x^2-y^2 \Rightarrow x^2+y^2 \leq 1-x^2-y^2$, parametrizzando (e non cambiando coordinate [nota]Approfondisci qual è la differenza, perché ho letto che non sono proprio la stessa cosa[/nota]) si ha $\rho^2 \leq 1-\rho^2 \Leftrightarrow \rho^2 \leq 1/2$ poiché $\rho \geq 0$, allora la soluzione è $0 \leq \rho \leq \sqrt(2)/2$

[m45511]

"dan95":Poiché $x^2+y^2 \leq z \leq 1-x^2-y^2 \Rightarrow x^2+y^2 \leq 1-x^2-y^2$, parametrizzando (e non cambiando coordinate [note]Approfondisci questa differenza, perché ho letto che non sono proprio la stessa cosa[/note]) si ha $\rho^2 \leq 1-\rho^2 \Leftrightarrow \rho^2 \leq 1/2$ poiché $\rho \geq 0$, allora la soluzione è $0 \leq \rho \leq \sqrt(2)/2$

Grazie mille, in effetti dovevo risolvere l'equazione. Sei stato illuminante!
Grazie ancora per l'aiuto!
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