[Analisi 2] max min due variabili con logritmo

[m45511]

Studiare max e min della funzione:
$f(x,y) = (y log(1+x^2)+x^3 ) $

Studio dove si annulla il gradiente:
$ { ( (2xy)/(x^2+1)+3x=0 ),( log(1+x^2)=0 ):} $

Trovo le soluzioni:
$x=0 y=k$
Tratto y come parametro e restringo la funzione $f(0,k)=0$
e qui mi blocco. L'hessiano esce nullo e non so come procedere.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie.

[quantunquemente]

si potrebbe procedere così :
consideriamo $g(x)=kln(1+x^2)+x^3$
per $k=0$ si ha $g(x)=x^3$ ,quindi $0$ è un punto di flesso per $g(x)$,cioè $(0,0)$ punto di sella
valutiamo $kne0$
calcolando $g'(x)$ si vede che $g'(x)>0$ equivale a $x(2k+3x+3x^3)>0$ il che vuol dire che in un intorno sufficientemente piccolo di $0$,$g'(x)$ ha lo stesso segno di $2kx$
quindi per $k>0$,$0$ è un punto di minimo relativo; allora in un intorno rettangolare sufficientemente piccolo(in modo che $0 analogamente si ragiona per $k<0$

[m45511]

"quantunquemente":si potrebbe procedere così :
consideriamo $g(x)=kln(1+x^2)+x^3$
per $k=0$ si ha $g(x)=x^3$ ,quindi $0$ è un punto di flesso per $g(x)$,cioè $(0,0)$ punto di sella
valutiamo $kne0$
calcolando $g'(x)$ si vede che $g'(x)>0$ equivale a $x(2k+3x+3x^3)>0$ il che vuol dire che in un intorno sufficientemente piccolo di $0$,$g'(x)$ ha lo stesso segno di $2kx$
quindi per $k>0$,$0$ è un punto di minimo relativo; allora in un intorno rettangolare sufficientemente piccolo(in modo che $0 analogamente si ragiona per $k<0$

Ti ringrazio per l'aiuto, sei stato illuminante!