[ANALISI 2] max e min ristretti ad una circonferenza
Salve ho questo esercizio:
Trovare max e min di $ f(x,y)=x-2y $ ristretta al dominio $x^2+y^2<=3$
Ho fatto questo esercizio con i moltiplicatori di Lagrange ed esce.
Adesso voglio provare tramite parametrizzazione del bordo:
1) parametrizzo la circonferenza
$(sqrt(3) cos sigma, sqrt(3) sen sigma)$ $sigma c [0,2 pi]$
2) ristringo la funzione alla parametrizzazione ed ottengo:
$f(sqrt(3) cos sigma, sqrt(3) sen sigma)=sqrt(3) cos sigma-2sqrt(3) sen sigma$
3) derivo e pongo la derivata prima =0
$-sqrt(3) sen sigma-2 sqrt(3) cos sigma =0 $
Risolvendo me esce $sigma=-63,43$ che non è corretto.
Qualcuno può guidarmi a risolvere l'equazione?
Grazie
Trovare max e min di $ f(x,y)=x-2y $ ristretta al dominio $x^2+y^2<=3$
Ho fatto questo esercizio con i moltiplicatori di Lagrange ed esce.
Adesso voglio provare tramite parametrizzazione del bordo:
1) parametrizzo la circonferenza
$(sqrt(3) cos sigma, sqrt(3) sen sigma)$ $sigma c [0,2 pi]$
2) ristringo la funzione alla parametrizzazione ed ottengo:
$f(sqrt(3) cos sigma, sqrt(3) sen sigma)=sqrt(3) cos sigma-2sqrt(3) sen sigma$
3) derivo e pongo la derivata prima =0
$-sqrt(3) sen sigma-2 sqrt(3) cos sigma =0 $
Risolvendo me esce $sigma=-63,43$ che non è corretto.
Qualcuno può guidarmi a risolvere l'equazione?
Grazie
Risposte
direi che la parametrizzazione e' corretta e anche l'equazione ,viene $arctg(-2)+k pi$ cioe' $ sigma=-63,43 +k pi $ quindi a noi interessano
$ sigma_1=-63,43 +pi $ e $ sigma_2=-63,43 +2pi $ (uno da poi il max e uno dara' il min)
Cosa dice il risultato???
!! Attenzione meglio non mescolare radianti con gradi quindi:
$ sigma_1=arctan(-2) +pi \quad $
$ sigma_2=arctan(-2) +2pi $
$ sigma_1=-63,43 +pi $ e $ sigma_2=-63,43 +2pi $ (uno da poi il max e uno dara' il min)
Cosa dice il risultato???
!! Attenzione meglio non mescolare radianti con gradi quindi:
$ sigma_1=arctan(-2) +pi \quad $
$ sigma_2=arctan(-2) +2pi $
"Wilde":
direi che la parametrizzazione e' corretta e anche l'equazione ,viene $arctg(-2)+k pi$ cioe' $ sigma=-63,43 +k pi $ quindi a noi interessano
$ sigma_1=-63,43 +pi $ e $ sigma_2=-63,43 +2pi $ (uno da poi il max e uno dara' il min)
Cosa dice il risultato???
Grazie per l'aiuto.
Adesso i valori: $ sigma_1=-63,43 +pi $ e $ sigma_2=-63,43 +2pi $
Li sostituisco nella funzione e trovo il max ed il min.
Piccolo dubbio:
Quando eseguo la sostituzione, devo anche sostituire le periodicità $+2pi" e $pi$ ?
Grazie.
come hai detto devi sostiruire $ sigma_1=-63,43 +pi \quad $ e$ \quad sigma_2=-63,43 +2pi $ (cosi' come sono scritti).
!! Attenzione meglio non mescolare radianti con gradi quindi:
$ sigma_1=arctan(-2) +pi \quad $
$ sigma_2=arctan(-2) +2pi $
!! Attenzione meglio non mescolare radianti con gradi quindi:
$ sigma_1=arctan(-2) +pi \quad $
$ sigma_2=arctan(-2) +2pi $
Il problema si può risolvere, a mente,con metodi da scuola secondaria. Basta cercare i valori di $ k $ che nel fascio improprio di rette $ x - 2y +k=0 $ corrispondono a rette tangenti alla circonferenza $ x^2+y^2=3 $; rette che distano $ \sqrt(3) $ dall'origine, e dunque $ k= \sqrt(15) $ per il massimo e $ k=- \sqrt(15) $ per il minimo. Rimane interessante utilizzare procedimenti di portata più vasta, anche solo per impratichirsi nel loro uso; però qualcuno mi spieghi affermazioni come questa:
Che senso ha mescolare angoli, approssimati, in gradi, con altri, esatti, in radianti?
A cosa serve sommare un angolo giro?
Ciao
B.
"Wilde":
devi sostiruire σ1=−63,43+π e σ2=−63,43+2π (cosi' come sono scritti).
Che senso ha mescolare angoli, approssimati, in gradi, con altri, esatti, in radianti?
A cosa serve sommare un angolo giro?
Ciao
B.
Il metodo da te esposto e' sicuramente corretto (ovvio) ma penso, come te, che si utile usare metodi piu' generali per impadronirsene e poterli usare in condizioni in cui si e' obbligati.
Sulla prima domanda hai ragione (ci sono mescolati radianti con gradi)ed e' sbagliato
e inoltre concordo che e' sicuramente meglio usare arctg(-2) ( avevo messo i gradi perche' usati da colui che ha posto la domanda pensando cosi' di essere piu' chiaro per lui, ma poi sono finito per sbagliare)
Sulla la seconda domanda serve per rientrare nel dominio in cui ci eravamo messi $[0,2pi]$
Sulla prima domanda hai ragione (ci sono mescolati radianti con gradi)ed e' sbagliato
e inoltre concordo che e' sicuramente meglio usare arctg(-2) ( avevo messo i gradi perche' usati da colui che ha posto la domanda pensando cosi' di essere piu' chiaro per lui, ma poi sono finito per sbagliare)
Sulla la seconda domanda serve per rientrare nel dominio in cui ci eravamo messi $[0,2pi]$
@Wilde:
è vero, mi ero perso il dominio scelto.
Ciao
B.
è vero, mi ero perso il dominio scelto.
Ciao
B.
Come vedi capita a tutti di sbagliarsi
Ciao ciao
Ciao ciao
"Wilde":
Come vedi capita a tutti di sbagliarsi
Ciao ciao
Ti ringrazio per l'aiuto! Quando mi capitano posto altri esercizi simili un questa conversazione!
Grazie!
Di nulla, qualsiasi altro problema proveremo a risolverlo...
Se fai un nuovo post forse però è più facile ce riceverai velocemente una risposta.
Ciao ciao
Se fai un nuovo post forse però è più facile ce riceverai velocemente una risposta.
Ciao ciao
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