[ANALISI 2] Massimi e minimi in due variabili con studio del segno

[m45511]

Salve, devo calcolare massimi e minimi della funzione:

$ f(x,y)=(y-x^3)(y-2x^3) $

Risolvo il sistema dove si annulla il gradiente:
$ { ( -9x^2y+12x^5=0 ),( 2y-3x=0 ):} $
$ { ( x^2=0 ),( y=0 ):} $

Mi sorge la prima domanda:
L'hessiano si annulla in $(0,0)$, oppure sulla parabola $x^2=0$ con $y=0$ ?

Ad ogni modo ho continuato con il punto critico $(0,0)$
Il determinante dell'hessiano esce zero quindi non riesco a trarre conclusioni.

Provando la restrizione sulle rette ottengo:
$f(x,0)=2x^6$
$f(0,y)=y^2 $
Che hanno tutte e due un minimo in $(0,0)$, quindi non posso dimostrare che è un punto di sella.
Ho pensanto di procedere con lo studio del segno, ma ho le idee confuse.

A quale intorno mi restringo per studiare il segno della funzione?

Grazie per l'attenzione.

[Dante.utopia]

La matrice Hessiana in $(0,0)$ è semidefinita positiva, quindi l'origine è un punto di minimo locale o di sella.

consideriamo la restrizione lungo la curva $(t^(1/2),0)$

$g(t)=f(t^(1/2),0)=2t^3$,

è facile verificare che $g(t)$ ha un flesso in $t=0$, quindi $(0,0)$ è punto di sella per la funzione.

[@melia]

"m4551":
Mi sorge la prima domanda:
L'hessiano si annulla in $(0,0)$, oppure sulla parabola $x^2=0$ con $y=0$

$x^2=0$ è solo un'equazione di secondo grado con un'unica soluzione doppia, non è una parabola.