Analisi 2 , massimi e minimi di funzioni a più variabili
Salve ragazzi, ho questa funzione
$f(x, y, z) = x^2-2x+y^2*log(1+z^2) $ e ho trovato che i punti critici sono: $ (1,0,t) $ e $(1,s,0) $
La matrice hessiana risulta semidefinita positiva, ergo in tal caso, quei punti sono sempre minimi o bisogna cercarlo di capire in altri modi, ad es. io ho visto che con $y=0$ rimane $x^2-2x$ dove per $ x=1$ si ottiene il minimo
$f(x, y, z) = x^2-2x+y^2*log(1+z^2) $ e ho trovato che i punti critici sono: $ (1,0,t) $ e $(1,s,0) $
La matrice hessiana risulta semidefinita positiva, ergo in tal caso, quei punti sono sempre minimi o bisogna cercarlo di capire in altri modi, ad es. io ho visto che con $y=0$ rimane $x^2-2x$ dove per $ x=1$ si ottiene il minimo
Risposte
Se la matrice è solo semidefinita positiva in generale non puoi concludere che il punto è di minimo.
In questo caso puoi osservare che, nei punti da te indicati, la funzione vale \(-1\), e che
\[
g(x,y,z) := f(x,y,z) + 1 = (x-1)^2 +y^2 \log(1+z^2)
\]
è una funzione \(\geq 0\) su tutto \(\mathbb{R}^3\).
Di conseguenza i punti sopra citati sono tutti di minimo assoluto.
In questo caso puoi osservare che, nei punti da te indicati, la funzione vale \(-1\), e che
\[
g(x,y,z) := f(x,y,z) + 1 = (x-1)^2 +y^2 \log(1+z^2)
\]
è una funzione \(\geq 0\) su tutto \(\mathbb{R}^3\).
Di conseguenza i punti sopra citati sono tutti di minimo assoluto.
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