Analisi 2 :lunghezza di una curva

[bio941]

Salve, non riesco a fare questo esercizio di dimostrazione sulle curve potreste aiutarmi???
Siano γ1, γ2 le curve parametrizzate da
x = t
y =√(1 − t) t ∈ [−1, 1],

x = cos(π − t)
y = sin(π − t) t ∈ [0, π],

rispettivamente. Dimostrare che γ1 e γ2 hanno la stessa lunghezza (senza calcolarla).

[vict85]

Sicuro che nel primo non sia \(\displaystyle y = \sqrt{1 - t^2} \)?

[bio941]

si ho fatto copia e incolla e pensavo avesse messo anche il quadrato

[vict85]

Ok, hai preso in considerazione che hanno la stessa lunghezza perché sono la stessa curva?

[bio941]

Si ma pensavo che ci fosse un procedimento che mostrasse appunto che la curva è la stessa ma data con parametrizzazioni differenti

[vict85]

È più utile se ci arrivi da solo. Riesci a capire che curva rappresentano?

[bio941]

dovrebbe rappresentare un arco di circonferenza, più precisamente la metà della circonferenza con le y positive

[vict85]

Si infatti.

Comunque in questo caso è facile. Infatti se scrivi \(\displaystyle \mathbf{r}_1(t) = \begin{cases}x &= t \\ y &= \sqrt{1-t^2}\end{cases} \) e \(\displaystyle \mathbf{r}_2(s) = \begin{cases}x &= \cos (\pi - s) \\ y &= \sin (\pi - s)\end{cases} \) risulta immediato che \(\displaystyle \mathbf{r}_1\bigl(\cos (\pi - s)\bigr) = \mathbf{r}_2(s) \). Ti invito a verificarlo.