[ANALISI 2] limite due variabili con logartimo

[m45511]

Salve, ho il seguente limite che non riesco a risolvere:

$lim_((x,y) ->(0,0)) ln(1+x^3)/(2x^2+y^2) $

Passando nella forma polare non riesco ad applicare i carabinieri.
Provando il metodo con il valore assoluto, trovo che:

$ 0<=|ln(1+x^3)| 1/(2x^2+y^2) <= |ln(1+x^3)| $
Che tende a 0 per $x->0$
In questo modo è giusto?
Grazie per l'aiuto

[m45511]

"TeM":Dunque, preliminarmente, si ha: \[ \lim_{(x,\,y) \to (0,\,0)} \frac{\log\left(1 + x^3\right)}{2\,x^2 + y^2} = \lim_{(x,\,y) \to (0,\,0)} \frac{\log\left(1 + x^3\right)}{2\,x^2 + y^2}\,\frac{x^3}{x^3} = \lim_{(x,\,y) \to (0,\,0)} \frac{x^3}{2\,x^2 + y^2} \; . \] Ora, notando che \[ 0 \le \left|\frac{\rho^3\,\cos^3\theta}{2\,\rho^2\,\cos^2\theta + \rho^2\,\sin^2\theta} - 0\right| = \frac{\left|\cos^3\theta\right|}{1 + \cos^2\theta}\,\rho \le \frac{1}{2}\,\rho \; \overset{\rho \to 0^+}{\longrightarrow} \; 0 \] per il teorema del confronto il limite esiste e vale \(0\).

Scusami, forse mi mancano dei prerequisiti. Perchè moltiplichi e dividi per $x^3$ ?
Non capisco questo passaggio, grazie.

[m45511]

"TeM":[quote="m4551"]
che dovresti conoscere dal corso di Analisi Matematica 1.

[/quote]

Su questo non ci piove, ma dopo 5 anni la memoria traballa!
Grazie per l'aiuto

[m45511]

"TeM":[quote="m4551"]Scusami, forse mi mancano dei prerequisiti. Perchè moltiplichi e dividi per $x^3$ ?

Essenzialmente mi sono riportato al limite notevole \(\begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + t)}{t} = 1 \end{aligned}\)
che dovresti conoscere dal corso di Analisi Matematica 1. [/quote]

Ho solo l'ultima domanda:
avrei potuto usare il comportamento asintotico del logaritmo?

$log(1+x^3)~ x^3$ per $x->0$

Poi verifico il limite con le coordinate polari.

Ti propongo la stessa domanda per il limite:

$ lim_(x,y -> 0,0) (xy-arctg(xy))/ ((x^2+y^2)^(3/2)) $

$arctg(xy)~ xy$ per $x,y->0,0$
Poi uso la restrizione sulle rette per vedere se esiste.
Se esiste, uso le coordinate polari per dimostrarlo.

La stima asintotica $xe^( (xy^4)/(y^2+x^2)) ~ (xy^4)/(y^2+x^2) $ per $x->0$ è giusta?

[m45511]

"TeM":[quote="m4551"]avrei potuto usare il comportamento asintotico del logaritmo?
$log(1+x^3)~ x^3$ per $x->0$

Sì, è la stessa identica cosa di "fare riferimento" ai limiti notevoli, i quali non sono
altro che la scrittura degli sviluppi in serie troncati al primo o al secondo ordine.

"m4551":Ti propongo la stessa domanda per il limite:
$ lim_(x,y -> 0,0) (xy-arctg(xy))/ ((x^2+y^2)^(3/2)) $
$arctg(xy)~ xy$ per $x,y->0,0$

Tale stima asintotica è corretta ma non utilizzabile in tale limite. Per approfondire vedi qui.

"m4551":La stima asintotica $xe^( (xy^4)/(y^2+x^2)) ~ (xy^4)/(y^2+x^2) $ per $x->0$ è giusta?

Assolutamente no.

Insomma, vedi di ripassare un po' i concetti base di Analisi Matematica 1, altrimenti
risulta difficile procedere senza intoppi nello studio dell'Analisi Matematica 2. [/quote]

Grazie, ho visto ed ho capito subito. Sto ripassando tutto passo dopo passo, 5 anni sono stati troppi.