[Analisi 2] Integrale Triplo
salve,
mi servirebbe un vostro aiuto nella risoluzione di questo integrale.
$\int int int z dxdydz$
nella regione contenuta nel semipiano $z>=0$ tra la superficie $z=2(x^2+y^2)^(1/2)$ e la sfera di centro l'origine e raggio $sqrt20$, ( $ x^2+y^2+z^2=20 $).
Grazie mille per il vostro aiuto!!
mi servirebbe un vostro aiuto nella risoluzione di questo integrale.
$\int int int z dxdydz$
nella regione contenuta nel semipiano $z>=0$ tra la superficie $z=2(x^2+y^2)^(1/2)$ e la sfera di centro l'origine e raggio $sqrt20$, ( $ x^2+y^2+z^2=20 $).
Grazie mille per il vostro aiuto!!
Risposte
Si tratta di calcolare l'integralre triplo della fuznione $f(x;y;z):=z$ sull'insieme
\[E:=\left\{(x;y;z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le20,\,\, z^2\ge4(x^2+y^2),\,\,z\ge0\right\},\]
dove l'insieme $E$ rappresenta la parte di spazio compresa tra la semifera di centro l'origine e raggio $\sqrt{20}$ il cono con asse di simmetria coincidente con l'asse $z.$ in questo caso è conveniente integrare per fili, cioè porre:
\begin{align}
\iiint_{E}z\,\,dxdydz&=\iint_{D} \left(\int_{z=2\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{20-x^2-y^2}} z\,\, dz\right) \,\,dxdy =\iint_{D}\left[\frac{z^2}{2}\right] _{z=2\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{20-x^2-y^2}} \,\,dxdy\\
&=\frac{5}{2}\iint_{D} 4- x^2- y^2\,\,dxdy
\end{align}
dove naturalmente $D:=\{(x;y)\in \mathbb{R^2}: x^2+y^2\le4\}.$ a questo punto, vista la particolarità dell'insieme $D$ e la funzione integranda, conviene passare in coordinate polari.
\[E:=\left\{(x;y;z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2\le20,\,\, z^2\ge4(x^2+y^2),\,\,z\ge0\right\},\]
dove l'insieme $E$ rappresenta la parte di spazio compresa tra la semifera di centro l'origine e raggio $\sqrt{20}$ il cono con asse di simmetria coincidente con l'asse $z.$ in questo caso è conveniente integrare per fili, cioè porre:
\begin{align}
\iiint_{E}z\,\,dxdydz&=\iint_{D} \left(\int_{z=2\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{20-x^2-y^2}} z\,\, dz\right) \,\,dxdy =\iint_{D}\left[\frac{z^2}{2}\right] _{z=2\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{20-x^2-y^2}} \,\,dxdy\\
&=\frac{5}{2}\iint_{D} 4- x^2- y^2\,\,dxdy
\end{align}
dove naturalmente $D:=\{(x;y)\in \mathbb{R^2}: x^2+y^2\le4\}.$ a questo punto, vista la particolarità dell'insieme $D$ e la funzione integranda, conviene passare in coordinate polari.
Ciao circe,
edita il tuo messaggio scrivendo il titolo tutto in minuscolo, il tutto maiuscolo equivale ad un urlo e non è ben visto. Inoltre non limitarti a proporre un esercizio, ma mostra un tuo tentativo di risoluzione (come da regolamento).
edita il tuo messaggio scrivendo il titolo tutto in minuscolo, il tutto maiuscolo equivale ad un urlo e non è ben visto. Inoltre non limitarti a proporre un esercizio, ma mostra un tuo tentativo di risoluzione (come da regolamento).
Grazie mille.. avevo sbagliato nel conto finale l'estremo di integrazione ed avevo inteso il raggio della sfera di raggio 20, per questo non mi venivano i conti!
ps: che programma usi per disegnare i grafici in 3 dimensioni?
ps: che programma usi per disegnare i grafici in 3 dimensioni?
Ti ho già chiesto di togliere il tutto maiuscolo
Se non sai come si fa: usa il tasto modifica che compare in alto a destra.
"gio73":
Ciao circe,
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Se non sai come si fa: usa il tasto modifica che compare in alto a destra.
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