[Analisi 2] integrale doppio

[filippo.vittoria]

Buon pomeriggio a tutti, scrivo per chiedere aiuto riguardo lo svolgimento di un integrale doppio che ho cercato di calcolare qualche giorno fa durante una prova di analisi2, con scarsi risultati...
con $ D = {(x,y) \in R^{2} : x^2+y^2-2x-2y \leq 0} \bigcap {(x,y) inR^2 : x \geq y} $ e l'integrale $ int int_(D)(x-y)(x^2+y^2)^4 dx dy $

segue il mio svolgimento, incompleto:
disegnando l'insieme di definizione trovo il centro $ C = (1;1) $ e il raggio $ r= \sqrt{2} $
successivamente ho sostituito in coordinate polari e cambiato l'insieme di definizione
$ x=\rho cos\theta + 1 $
$ y= \rho sen\theta + 1 $
e il nuovo insieme di definizione F: $ {(\rho,\theta) \in R^2 : 1\leq \rho \leq \sqrt{2} ; \frac{5\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}} $
e ho proceduto a calcolare l'integrale
$ int int_{F} (\rho cos\theta +1 -\rho sen\theta -1)((\rho cos\theta +1)^2 +(\rho sen\theta +1)^2)^4 \rho d\rho d\theta = $

$ = int int_{F} \rho^2(cos\theta - sen\theta) (\rho^2cos^2\theta +1 +2\rho cos\theta +\rho^2sen^2\theta +1+2\rho sen\theta)^4 d\rho d\theta = $

$ = int int_{F} \rho^2(cos\theta -sen\theta)(\rho^2+2\rho(cos\theta+sen\theta)+2)^4d\rho d\theta = $

da qui non so più come procedere
qualsiasi aiuto sara' molto gradito.
grazie
Filippo

[filippo.vittoria]

grazie mille per la risoluzione, mi e' stata davvero molto utile.

[filippo.vittoria]

perdona la mia insistenza, ma ho ancora un piccolo problema, ho cercato di svolgere i calcoli:
$ int_{-\pi/4}^{\pi/4} (cos\theta-sen\theta) d\theta int_{0}^{2(cos\theta+sen\theta)}\rho^10 d\rho $
che diventa
$ int_{-\pi/4}^{\pi/4} (cos\theta-sen\theta) [\rho^11/11]_{0}^{2(cos\theta+sen\theta)} d\theta $
$ 1/11 int_{-\pi/4}^{\pi/4} (cos\theta-sen\theta) (2(cos\theta+sen\theta))^11 d\theta $
da qui non so più come proseguire

[Lo_zio_Tom]

EDIT: Ho detto una caxxata