Analisi 2 integrale di superficie

[rosario911]

Salve mi trovo alle prese con un integrale di superfice che non riesco a risolvere il testo è:
\(\displaystyle \lmoustache {(x^2+y^2)/[1+e^(2z)]} \)
dove \(\displaystyle z=-1/2log(x^2+y^2) \)
e \(\displaystyle \Sigma= e^-2<=x^2+y^2<=1 \)

il mio procedimento è quello di parametrizzare la superficie come
\(\displaystyle \sigma = (u,v,1/2log(u^2+v^2) \) trovare la normale alla superfice , fare la norma e poi fare l'integrale doppio della \(\displaystyle F(\sigma)*||N|| \) poi trasformo tutto in coordinate polari nel piano ma poi mi perdo nell'integrazione ...

[ciampax]

Dunque, mi pare di capire che l'integrale è il seguente

$\int_{\Sigma}{x^2+y^2}/{1+e^{2z}}\ d\sigma$

dove $z=-1/2 \log(x^2+y^2)$ e si ha l'ulteriore condizione $e^{-2}\ge x^2+y^2\ge 1$, giusto?

Allora io parametrizzerei così: $\sigma(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ -1/2 \log u^2)=(u\cos v,\ u\sin v, -\log u)$ con la condizione che $e^{-2}\le u^2\le 1$ e quindi $e^{-1}\le u\le 1$ e $v\in[0,2\pi]$. A questo punto per la normale si ha

$\sigma_u=(\cos v,\ \sin v,\ -1/u),\qquad \sigma_v=(-u\sin v,,\ u\cos v,\ 0)$

e quindi

$N(u,v)=\sigma_u\times\sigma_v=(\cos v,\ \sin v,\ u)$

da cui $||N||=\sqrt{1+u^2}$. Infine si ha l'integrale

$\int_0^{2\pi}\int_{e^{-1}}^1 {u^2}/{1+e^{-\log u^2}}\cdot\sqrt{1+u^2}\ du\ dv=\int_0^{2\pi}\int_{e^{-1}}^1 {u^2}/{1+1/u^2}\cdot\sqrt{1+u^2}\ du\ dv=\int_0^{2\pi}\int_{e^{-1}}^1 {u^4}/{\sqrt{1+u^2}}\ du\ dv=$
$=2\pi\int_{e^{-1}}^1 u^4/{\sqrt{1+u^2}}\ du$

Ponendo $\sqrt{1+u^2}=u+t$ si ha $1+u^2=u^2+2ut+t^2$ e quindi $u={1-t^2}/{2t}$ e anche $du=-{1+t^2}/{2t^2}\ dt$, mentre per gli estremi di integrazione $x=1/e\to t={\sqrt{1+e^2}-1}/e=a$ e $x=1\to t=\sqrt{2}-1=b$ e infine

$2\pi\int_a^b {(1-t^2)^4}/{16t^4}\cdot 1/t\cdot (-{1+t^2}/{2t^2})\ dt$

A questo punto si tratta solo di fare un po' di calcoli e accorgersi che tutti gli integrali diventano del tipo $t^\alpha$ e il gioco è fatto.