Analisi 2... Integrale di Superficie
Ciao a tutti ragazzi apro questo post per porvi un problema di analisi 2 che trovo un po incasinato.. Il problema è il seguente
http://www-dimat.unipv.it/fornaro/Doc_An2/A_lug2014.pdf
Numero 2
Vorrei capire se c'è qualche altro metodo per risolverlo, perché sinceramente non avrei immediatamente pensato ad utilizzare la divergenza ma avrei prima provato con i ''normali'' integrali di superficie...
Grazie
http://www-dimat.unipv.it/fornaro/Doc_An2/A_lug2014.pdf
Numero 2
Vorrei capire se c'è qualche altro metodo per risolverlo, perché sinceramente non avrei immediatamente pensato ad utilizzare la divergenza ma avrei prima provato con i ''normali'' integrali di superficie...
Grazie
Risposte
Il calcolo con gli integrali di superficie si può fare, ma ti assicuro che viene abbastanza fastidioso.
Applicare il Teorema della divergenza è la cosa migliore, solo che bisogno aggiungere la "base" superiore del cono,per cui l'integrale andrebbe pensato sulla superficie $\Sigma'=\Sigma\cup B$ essendo $B$ la base per $z=2^{1/3}$ e scrivendo allora
$$\int_\Sigma=\int_{\Sigma'}-\int_B$$
e applicando al primo la divergenza, mentre al secondo un integrale di "superficie" molto semplice,tenuto conto che $z=2^{1/3}$ e che $n=-k$.
Applicare il Teorema della divergenza è la cosa migliore, solo che bisogno aggiungere la "base" superiore del cono,per cui l'integrale andrebbe pensato sulla superficie $\Sigma'=\Sigma\cup B$ essendo $B$ la base per $z=2^{1/3}$ e scrivendo allora
$$\int_\Sigma=\int_{\Sigma'}-\int_B$$
e applicando al primo la divergenza, mentre al secondo un integrale di "superficie" molto semplice,tenuto conto che $z=2^{1/3}$ e che $n=-k$.
Grazie mille
Scusa la domanda.. ma come verrebbe il calcolo dell'int di superficie? Tanto per capire GRAZIE
Scusa la domanda.. ma come verrebbe il calcolo dell'int di superficie? Tanto per capire GRAZIE
Puoi parametrizzare la superficie come
$$r(u,v)=(u\cos v,u/2\cdot\sin v,u),\qquad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,\sqrt[3]{2}]$$
e ricavare il vettore normale
$$N(u,v)=r_u\wedge r_v=(\cos v,1/2\cdot\sin v,1)\wedge(-u\sin v,u/2\cdot\cos v,0)=(-u/2\cdot\cos v,-u\sin v,u/2)$$
e dal momento che si richiede $n\cdot k<0$ usare il vettore $N_1=-N=(u/2\cdot\cos v,u\sin v,-u/2)$. Fatto questo, dal momento che
$$\int_{\Sigma} F\bullet n\ d\sigma=\int_{\Sigma} F\bullet \frac{N_1}{||N_1||}\ d\sigma=\int_{(u,v)\in D} F\bullet\frac{N_1}{||N_1||}\cdot ||N_1||\ du\ dv=\int_{(u,v)\in D} F\bullet N_1\ du\ dv$$
Abbiamo l'integrale
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt[3]{2}}\left(u^2\cos^2 v+e^u,-u^2\cos v\sin v+u^3,\frac{u^4}{4}\cos^2 v\sin^2 v\right)\bullet\left(\frac{u}{2}\cos v,u\sin v,-\frac{u}{2}\right)\ du\ dv\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt[3]{2}}\left[\frac{u^3}{2}\cos^3 v+\frac{u e^u}{2}\cos v-u^3\cos v\sin^2 v+u^4\sin v-\frac{u^5}{8}\cos^2 v\sin^2 v\right]\ du\ dv$$
che non è difficile da integrare, ma ti porta via una buona mezz'ora di calcoli, a meno che non fai qualche osservazioni sugli integrali rispetto a $v$ (ce ne sono alcuni che valgono zero).
$$r(u,v)=(u\cos v,u/2\cdot\sin v,u),\qquad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,\sqrt[3]{2}]$$
e ricavare il vettore normale
$$N(u,v)=r_u\wedge r_v=(\cos v,1/2\cdot\sin v,1)\wedge(-u\sin v,u/2\cdot\cos v,0)=(-u/2\cdot\cos v,-u\sin v,u/2)$$
e dal momento che si richiede $n\cdot k<0$ usare il vettore $N_1=-N=(u/2\cdot\cos v,u\sin v,-u/2)$. Fatto questo, dal momento che
$$\int_{\Sigma} F\bullet n\ d\sigma=\int_{\Sigma} F\bullet \frac{N_1}{||N_1||}\ d\sigma=\int_{(u,v)\in D} F\bullet\frac{N_1}{||N_1||}\cdot ||N_1||\ du\ dv=\int_{(u,v)\in D} F\bullet N_1\ du\ dv$$
Abbiamo l'integrale
$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt[3]{2}}\left(u^2\cos^2 v+e^u,-u^2\cos v\sin v+u^3,\frac{u^4}{4}\cos^2 v\sin^2 v\right)\bullet\left(\frac{u}{2}\cos v,u\sin v,-\frac{u}{2}\right)\ du\ dv\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt[3]{2}}\left[\frac{u^3}{2}\cos^3 v+\frac{u e^u}{2}\cos v-u^3\cos v\sin^2 v+u^4\sin v-\frac{u^5}{8}\cos^2 v\sin^2 v\right]\ du\ dv$$
che non è difficile da integrare, ma ti porta via una buona mezz'ora di calcoli, a meno che non fai qualche osservazioni sugli integrali rispetto a $v$ (ce ne sono alcuni che valgono zero).
Scusa ancora mi spiegheresti come hai parametrizzato? Grazie mille
Ho usato le coordinate polari generalizzate $x=au\cos v,\ y=bu\sin v$, scegliendo le costanti $a, b$ in modo che quando faccio la somma dei quadrati venga fuori $u^2$.
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