Analisi 2, funzioni di due variabili

[giuls.ingg]

Salve a tutti, fra due giorni ho l'esame di Analisi e avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio:



Grazie in anticipo

[Antimius]

Ciao e benvenuto/a. Ti invito a leggere il regolamento del forum perché:
1) Dovresti scrivere le formule piuttosto che inviare la foto
2) Dovresti proporre il tuo approccio, o almeno provarci e spiegare dov'è il problema

Ad esempio, cominciando dal primo punto, cosa non ti è chiaro/non riesci a svolgere?

[giuls.ingg]

Scusami ma sono nuova qui.
Comunque per quanto riguarda il primo punto sono partita dal fatto che i punti estremali, se esistono, sono stazionari. Ho posto il gradiente uguale a 0 e ho trovato 3 punti che ho sottoposto al test della matrice Hessiana. Un punto (ovvero (-1,1)) mi viene di minimo relativo forte, gli altri 2 (ovvero (0,1) e (-2,1)) hanno hessiana uguale a 0. Da questo momento non so come procedere, ho cercato di studiare il segno di f(x,y)-f(0,1) ma non riesco a dimostrare che la funzione ha (o non ha) segno costante nell'intorno di (0,1). Non so se mi sono spiegata, grazie mille per la disponibilita

[Antimius]

Credo che ci sia qualche errore nei conti. Il gradiente si annulla in $(0,-1), (1,-1), (2,-1)$. Detto ciò, osserva che $f(x,-1) = x^3(x-2)^3$ che è crescente in un intorno di $2$ e decrescente in un intorno di $0$. Perciò intorno ai punti $(0,-1)$, $(2,-1)$ la funzione assume segni diversi. Ti rimane da studiare l'altro punto che, credo, si possa studiare tramite Hessiano.
In ogni caso, spesso è utile ricondursi a studiare la funzione a una variabile per capire il segno in un intorno di un punto (ovviamente non sempre aiuta, non c'è una regola generale!). In questo caso a maggior ragione, visto che la funzione è somma di due funzioni, le quali sono una solo funzione di $x$ e l'altra di $y$.
In generale devi riuscire a dimostare la disuguaglianza per dire che ha segno costante. Se invece intuisci che NON ha segno costante, basta che trovi una direzione (o più in generale una curva) lungo la quale la funzione non ha segno costante (come in questo caso per le direzioni principali). In tal caso allora puoi studiare la funzione lungo le rette ($f(x,kx))$ o lungo curve specifiche (ad esempio $f(x,x^2)$), se ti accorgi che modificandola opportunamente ottieni un segno non costante

[giuls.ingg]

Grazie mille, veramente . Invece, per quanto riguarda l'immagine di f, sono riuscita a dimostrare (tramite il limite di una qualsiasi restrizione) che la funzione non è limitata superiormente. Come faccio invece, a dimostrare che é limitata inferiormente? E cioè a dimostrare che il punto di minimo relativo che ho trovato, è anche di Massimo assoluto?

[Antimius]

Figurati Per verificare che ha un minimo assoluto, devi mostrare che la funzione va a infinito globalmente, cioè il limite è $+\infty$ se $x^2+y^2 \to \infty$ cioè se la norma va infinito. Immaginatelo nel caso di una funzione a una variabile: se è continua e a $\pm \infty$ va a $+\infty$ allora è "obbligata" a avere un punto di minimo. La stessa cosa si estende a più variabili quando $\|x \| \to \infty$.
In questo caso è semplice perché, come osservato già prima, la funzione si spezza in somma di due funzione di una variabile che hanno entrambe grado pari

[giuls.ingg]

Grazie mille, mi sei stato molto d'aiuto. Per il secondo punto volevo solo sapere se il mio ragionamento é corretto:

Disegno A su un piano cartesiano, dico che, siccome A è compatto e f è continua, la sua restrizione ad A ammetterà sicuramente almeno un punto di massimo e uno di minimo (assoluto) per Weierstrass. Questi punti e gli (eventuali) altri punti estremali in senso relativo si troveranno sulla frontiera di A. Quindi prima restringo f a y=0, con 2 Grazie ancora

[Antimius]

"giuls.ingg":
Disegno A su un piano cartesiano, dico che, siccome A è compatto e f è continua, la sua restrizione ad A ammetterà sicuramente almeno un punto di massimo e uno di minimo (assoluto) per Weierstrass.

Giusto!

"giuls.ingg":Questi punti e gli (eventuali) altri punti estremali in senso relativo si troveranno sulla frontiera di A. Quindi prima restringo f a y=0, con 2

Non è detto che i punti di massimo e minimo assoluto siano sulla frontiera in genere! La ricerca dei punti di massimo/minimo in un dominio chiuso va effettuata in due fasi:
- cercando i punti estremali all'interno del dominio, che rappresentano i massimi e minimi relativi della funzione
- cercando i punti estremali, restringendo la funzione alla frontiera, che rappresentano massimi e minimi vincolati alla frontiera
Fatto questo, basta confrontarli per scoprire quali tra questi sono massimi e minimi assoluti per la funzione ristretta a quel dominio.

Nel tuo caso, i punti estremali della funzione li hai già trovati e devi soltanto capire se sono all'interno del dominio. A occhio mi pare che non ci siano, perciò non ci sono massimi e minimi relativi all'interno del dominio. A questo punto allora la ricerca dei massimi e minimi assoluti va effettuata inevitabilmente sulla frontiera.
Come effettuo la ricerca sulla frontiera? Puoi parametrizzare la curva quando questa ha una parametrizzazione "facile" oppure puoi sostituire l'equazione cartesiana della curva nella funzione, che in questo caso (come hai detto tu giustamente!) va fatto in due tempi: prima sull'asse x e poi sulla parabola (occhio a restringere opportunamente i valori della $y$).

[size=85]Detto ciò, c'è anche un terzo metodo per studiare massimi e minimi vincolati ed è quello dei moltiplicatori di Lagrange, ma non so se l'avete fatto.[/size]
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