[ANALISI 2] Estremi di integrazione integrai tripli
Salve, avrei bisogno di una conferma o una smentita sugli estremi di integrazione di due integrali tripli.
Primo esercizio:
Calcolare \(\displaystyle \iiint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdydz \) dove D e' l'intersezione tra la sfera \(\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} <= 1 \), il semipiano \(\displaystyle z >= 0 \) e il cono \(\displaystyle z^{2} >= x^{2} + y^{2} \).
Il dominio D è simmetrico rispetto all'asse z. Ho pensato di svolgere l'integrale per sezioni, dividendolo in due integrali tripli. Ve li scrivo:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} dz \iint_{Dz1} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdy + \int_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} dz \iint_{Dz2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdy \)
Dove DZ1(sezione) = Circonferenza di centro (0,0) e raggio z.
Dz2 (sezione) = Circonferenza di centro (0,0) e raggio \(\displaystyle x = \sqrt{1-z^{2}} \)
Provo a scrivere gli estremi:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} dz \int_{x=0}^{\sqrt{z}} \int_{y=0}^{\sqrt{z-x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dydx + \int_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} dz \int_{x= \frac{1}{\sqrt{2}}}^{1-z^{2}} \int_{y=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1-z^{2} - \sqrt{x^2}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dydx \)
E' un po' difficile calcolare così l'integrale , infatti forse dopo passerò in coordinate polari o sferiche ma volevo sapere se gli estremi sono corretti. Nel primo integrale doppio (quello della x che va da 0 a radice di z) e' "come se azzerassi la y" giusto?
Se lo volessi fare per fili quali sarebbero stati gli estremi? Il "filo" va dalla proiezione della base del cono sul piano x,y e intercetta prima il cono (quindi equzione cono) e poi la circonferenza (quindi equazione circonferenza).
Secondo esercizio:
Calcolare \(\displaystyle \iiint_{D} z^{2} dxdydz \) dove D e' l'intersezione tra le sfere \(\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} <= 1 \) e \(\displaystyle x^{2} +y^{2} + (z-1)^{2} <= 1 \)
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse z. La prima sfera ha centro (0,0,0) e la seconda in (0,0,1).
Sempre per "sezioni" posso scrivere:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{1/2} z^{2} dz \iint_{x^2 +y^2 <= 1-(z-1)^2} dxdy + \int_{z=1/2}^{1} \iint_{x^{2} + y^{2} <= 1-z^{2}} dxdy \)
visto che nei due integrali doppi sto integrado la funzione costante 1 è come se calcolassi l'area e l'area dei due cerchi sono rispettivamente: \(\displaystyle \pi(1-(z-1)^{2} \) e \(\displaystyle \pi (1-z^{2}) \)
La domanda è: Se non mi accorgessi di questa cosa dell'area, quale sarebbero gli estremi (per sezioni) ?
Scusate se mi sono dilungato ma voglio capirci di più, visto che ho molta difficoltà a fare questi integrali tripli.
Grazie delle eventuali risposte.
Primo esercizio:
Calcolare \(\displaystyle \iiint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdydz \) dove D e' l'intersezione tra la sfera \(\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} <= 1 \), il semipiano \(\displaystyle z >= 0 \) e il cono \(\displaystyle z^{2} >= x^{2} + y^{2} \).
Il dominio D è simmetrico rispetto all'asse z. Ho pensato di svolgere l'integrale per sezioni, dividendolo in due integrali tripli. Ve li scrivo:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} dz \iint_{Dz1} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdy + \int_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} dz \iint_{Dz2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dxdy \)
Dove DZ1(sezione) = Circonferenza di centro (0,0) e raggio z.
Dz2 (sezione) = Circonferenza di centro (0,0) e raggio \(\displaystyle x = \sqrt{1-z^{2}} \)
Provo a scrivere gli estremi:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} dz \int_{x=0}^{\sqrt{z}} \int_{y=0}^{\sqrt{z-x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dydx + \int_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} dz \int_{x= \frac{1}{\sqrt{2}}}^{1-z^{2}} \int_{y=\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1-z^{2} - \sqrt{x^2}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dydx \)
E' un po' difficile calcolare così l'integrale , infatti forse dopo passerò in coordinate polari o sferiche ma volevo sapere se gli estremi sono corretti. Nel primo integrale doppio (quello della x che va da 0 a radice di z) e' "come se azzerassi la y" giusto?
Se lo volessi fare per fili quali sarebbero stati gli estremi? Il "filo" va dalla proiezione della base del cono sul piano x,y e intercetta prima il cono (quindi equzione cono) e poi la circonferenza (quindi equazione circonferenza).
Secondo esercizio:
Calcolare \(\displaystyle \iiint_{D} z^{2} dxdydz \) dove D e' l'intersezione tra le sfere \(\displaystyle x^{2} + y^{2} + z^{2} <= 1 \) e \(\displaystyle x^{2} +y^{2} + (z-1)^{2} <= 1 \)
Il dominio è simmetrico rispetto all'asse z. La prima sfera ha centro (0,0,0) e la seconda in (0,0,1).
Sempre per "sezioni" posso scrivere:
\(\displaystyle \int_{z=0}^{1/2} z^{2} dz \iint_{x^2 +y^2 <= 1-(z-1)^2} dxdy + \int_{z=1/2}^{1} \iint_{x^{2} + y^{2} <= 1-z^{2}} dxdy \)
visto che nei due integrali doppi sto integrado la funzione costante 1 è come se calcolassi l'area e l'area dei due cerchi sono rispettivamente: \(\displaystyle \pi(1-(z-1)^{2} \) e \(\displaystyle \pi (1-z^{2}) \)
La domanda è: Se non mi accorgessi di questa cosa dell'area, quale sarebbero gli estremi (per sezioni) ?
Scusate se mi sono dilungato ma voglio capirci di più, visto che ho molta difficoltà a fare questi integrali tripli.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Grazie della risposta, però volevo sapere se gli estremi di integrazione scritti da me fossero giusti. È un modo per vedere se so integrare in coordinate cartesiane.
Grazie ancora della risposta.
Grazie ancora della risposta.
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