Analisi 2, esercizio su forma differenziale
Buongiorno ragazzi, volevo chiedervi se potreste verificare l'esattezza di questo esercizio da me svolto.
Dire per quali valori di k reale $ omega=(2xy)dx-(3kx^2)dy $ è esatta nel suo campo di definizione. calcolarne la funzione potenziale e l'integrale $ int_gamma omega $ dove $ gamma $ è l'ellisse di semiassi 2 e 3 e centro l'origine.
Ecco il procedimento che ho seguito
1) Calcolo derivate parziali in croce per verificare chiusura
$ A_y=2x $
$ B_x=-6kx $
Uguagliando le due equazioni ricavo che l'unico valore k che soddisfa la condizione di chiusura è $ k=-1/3 $
La forma differenziale da studiare è dunque $ omega=(2xy)dx+(x^2)dy $
2) Calcolo del potenziale
$ int x^2dy=x^2y+c(x) $. Derivo rispetto a x, ottengo $ d/dxx^2y+c(x)=2xy+c'(x) $
$ 2xy+c'(x)=2xy $ da cui $ c'(x)=0 $ ovvero $ c(x)=k $.
La funzione potenziale è dunque $ F(x,y)=x^2y+k $
3) Calcolo integrale
$ gamma=[x^2/4+y^2/9=1] $ che in forma parametrica diventa $ { ( x=2cost ),( y=3cost):} 0<=t<=2pi $
la cui derivata diventa $ { ( x'=-2sint ),( y'=3cost ):} 0<=t<=2pi $
Ora, ho provato a svolgerlo in due modi:
1) $ int_gammaomega(x,y)dxdy=F(P_2)-F(P_1) $ ù
Per trovare $ F(P_1,_2) $ sostituisco nell'equazione parametrica dell'ellisse a t il valore 0 e $ 2pi $
$ F(P_1) =(2cos0, 3sin0)=(2,0) $
$ F(P_2)=(2cos2pi, 3sin2pi)=(2,0) $
Sostituisco i valori nella primitiva precedentemente trovata e ricavo che vale 0
2)Calcolo l'integrale curvilineo
Sostituisco nella forma differenziale i valori x e y dell'ellisse, moltiplicati per le derivate
$ int_gamma(2cost3sint(-2sint)+4cos^2t2cost)dt=int_gamma(-12costsin^2t+12cos^3t)dt=int_gamma(-12cost+24cos^3t)dt $
Alla fine ottengo:
$ -12sint+24[(costsint)/3+2/3sint] $ tutto calcolato fra 0 e $ 2pi $. Poichè il seno si annulla sempre per quei valori il risultato è sempre 0.
Confermate oppure ho perso mezz'ora solo per scrivere cose sbagliate?
Dire per quali valori di k reale $ omega=(2xy)dx-(3kx^2)dy $ è esatta nel suo campo di definizione. calcolarne la funzione potenziale e l'integrale $ int_gamma omega $ dove $ gamma $ è l'ellisse di semiassi 2 e 3 e centro l'origine.
Ecco il procedimento che ho seguito
1) Calcolo derivate parziali in croce per verificare chiusura
$ A_y=2x $
$ B_x=-6kx $
Uguagliando le due equazioni ricavo che l'unico valore k che soddisfa la condizione di chiusura è $ k=-1/3 $
La forma differenziale da studiare è dunque $ omega=(2xy)dx+(x^2)dy $
2) Calcolo del potenziale
$ int x^2dy=x^2y+c(x) $. Derivo rispetto a x, ottengo $ d/dxx^2y+c(x)=2xy+c'(x) $
$ 2xy+c'(x)=2xy $ da cui $ c'(x)=0 $ ovvero $ c(x)=k $.
La funzione potenziale è dunque $ F(x,y)=x^2y+k $
3) Calcolo integrale
$ gamma=[x^2/4+y^2/9=1] $ che in forma parametrica diventa $ { ( x=2cost ),( y=3cost):} 0<=t<=2pi $
la cui derivata diventa $ { ( x'=-2sint ),( y'=3cost ):} 0<=t<=2pi $
Ora, ho provato a svolgerlo in due modi:
1) $ int_gammaomega(x,y)dxdy=F(P_2)-F(P_1) $ ù
Per trovare $ F(P_1,_2) $ sostituisco nell'equazione parametrica dell'ellisse a t il valore 0 e $ 2pi $
$ F(P_1) =(2cos0, 3sin0)=(2,0) $
$ F(P_2)=(2cos2pi, 3sin2pi)=(2,0) $
Sostituisco i valori nella primitiva precedentemente trovata e ricavo che vale 0
2)Calcolo l'integrale curvilineo
Sostituisco nella forma differenziale i valori x e y dell'ellisse, moltiplicati per le derivate
$ int_gamma(2cost3sint(-2sint)+4cos^2t2cost)dt=int_gamma(-12costsin^2t+12cos^3t)dt=int_gamma(-12cost+24cos^3t)dt $
Alla fine ottengo:
$ -12sint+24[(costsint)/3+2/3sint] $ tutto calcolato fra 0 e $ 2pi $. Poichè il seno si annulla sempre per quei valori il risultato è sempre 0.
Confermate oppure ho perso mezz'ora solo per scrivere cose sbagliate?
Risposte
Sembra corretto, ma hai perso comunque tempo, dopo aver verificato che la forma è esatta (ammette un potenziale), essendo essa $C^1(\mathbb{R}^2)$, si sapeva già da un teorema che lungo una curva chiusa l'integrale curvilineo/circuitazione è 0.
Due appunti, il primo è importante:
1)
Male. Calcolare una funzione potenziale. Non ce n'è mica una sola, ce n'è una infinità.
2) Riguardo l'integrale. Intanto, una volta verificato che la forma differenziale è esatta, automaticamente tute le circuitazioni si annullano, e non capisco perché Reyzet sottolinei la classe \(C^1\), non è certo quello il punto principale. Secondo, io dal testo capisco che devi calcolare l'integrale curvilineo per ogni valore di \(k\). Se hai fatto bene i conti, tale integrale deve annullarsi solo per \(k=-\frac13\).
1)
calcolare la funzione potenziale
Male. Calcolare una funzione potenziale. Non ce n'è mica una sola, ce n'è una infinità.
2) Riguardo l'integrale. Intanto, una volta verificato che la forma differenziale è esatta, automaticamente tute le circuitazioni si annullano, e non capisco perché Reyzet sottolinei la classe \(C^1\), non è certo quello il punto principale. Secondo, io dal testo capisco che devi calcolare l'integrale curvilineo per ogni valore di \(k\). Se hai fatto bene i conti, tale integrale deve annullarsi solo per \(k=-\frac13\).
@dissonance il teorema a cui mi riferivo se non ricordo male ha come ipotesi quella che la forma sia $C^1$ oltre che chiusa, era per completezza diciamo. EDIT:ricordavo male, non era richiesto.
Comunque non avevo letto bene il testo, hai ragione, il calcolo va fatto lo stesso per ogni k.
Comunque non avevo letto bene il testo, hai ragione, il calcolo va fatto lo stesso per ogni k.
"Reyzet":
@dissonance il teorema a cui mi riferivo se non ricordo male ha come ipotesi quella che la forma sia $C^1$ oltre che chiusa
Ma essere chiusa significa anche essere di classe C1 no?
Si si certo, la classe \(C^1\), ok. Ma la formula
\[
\int_\gamma df=f(b)-f(a), \]
richiede solo che \(df\) sia continua, non occorre sapere niente sulle sue derivate, anche se in questo contesto uno non si mette a fare tanto il puntiglioso sulle questioni di regolarità, non sono la cosa più importante, qui.
I geometri assumono direttamente che tutto sia \(C^\infty\), proprio per evitare di starsi a impelagare in questi dettagli.
\[
\int_\gamma df=f(b)-f(a), \]
richiede solo che \(df\) sia continua, non occorre sapere niente sulle sue derivate, anche se in questo contesto uno non si mette a fare tanto il puntiglioso sulle questioni di regolarità, non sono la cosa più importante, qui.
I geometri assumono direttamente che tutto sia \(C^\infty\), proprio per evitare di starsi a impelagare in questi dettagli.
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