Analisi 2. Equazioni differenziali: polinomio caratteristico
Ciao,
ho un dubbio sul polinomio caratteristico da associare alle eq. differenziali. Nel mio libro la seguente eq. differenziale y'''' -20y'' +64= 0 è calcolata attraverso il polinomio y^4 -20y^2+ 64=0.
Non capisco perché venga lasciato il 64. Mi aiutate a capire il perché.
Grazie in anticipo
ho un dubbio sul polinomio caratteristico da associare alle eq. differenziali. Nel mio libro la seguente eq. differenziale y'''' -20y'' +64= 0 è calcolata attraverso il polinomio y^4 -20y^2+ 64=0.
Non capisco perché venga lasciato il 64. Mi aiutate a capire il perché.
Grazie in anticipo
Risposte
Sposto in Analisi .
Edit : cancellata considerazione errata.
Edit : cancellata considerazione errata.
questa è un'omogenea del quarto grado..si risolvono tutte cosi...se hai per esempio y''-2y-2=0, il polinomio caratteristico sarà $\lambda^2-2\lambda-2$,proprio per definizione di polinomio caratteristico!
Ma siete sicuri, ragazzi? @katesweet: Ti pare omogenea quell'equazione? A me no. \(64\) non è \(0\). Anche il tuo esempio è sbagliato. Quel 2 rende l'equazione non omogenea. E attenzione: anche il polinomio caratteristico che esibisci è sbagliato.
@tutti: A me pare che feffi89 abbia ragione, il libro si sbaglia. Prima di risolvere l'equazione non omogenea col 64 bisogna risolvere l'equazione omogenea e lì il 64 non c'è. Inoltre il polinomio caratteristico si ottiene associando monomi di grado pari all'ordine di derivazione, cosìcché per l'equazione (omogenea)
\[y^{(4)}-20 y''=0\]
il polinomio caratteristico è
\[\lambda^4-20\lambda^2.\]
@tutti: A me pare che feffi89 abbia ragione, il libro si sbaglia. Prima di risolvere l'equazione non omogenea col 64 bisogna risolvere l'equazione omogenea e lì il 64 non c'è. Inoltre il polinomio caratteristico si ottiene associando monomi di grado pari all'ordine di derivazione, cosìcché per l'equazione (omogenea)
\[y^{(4)}-20 y''=0\]
il polinomio caratteristico è
\[\lambda^4-20\lambda^2.\]
hai perfettamente ragione dissonance,scusami,svista mia..l'equazione era omogenea se era 64y...scusate 
Non ti preoccupare, sono sviste che capitano. Basta ricordarsi che \(y\), ovvero la derivata di ordine zero, corrisponde a \(\lambda^0\), cioè a \(1\), nel polinomio caratteristico. Certe volte questa cosa fa confondere.
Ragazzi nel mio libro l'esercizio è nella sezione delle equazioni omogenee e non è l'unica di questo tipo; ossia che viene risolta considerando i termini noti dell'equazione differenziale anche nel polinomio caratteristico.
Ma sei sicuro? A me pare proprio strano. Per esempio, quale sarebbe il polinomio caratteristico di
\[y'+y+1=0\ ?\]
\[y'+y+1=0\ ?\]
sarà un errore di battitura forse?
Sono sicurA 
. Anche a me sembra molto strano, però ho trovato lo stesso "errore" anche nelle dispense del mio professore e ho notato che è una cosa che riguarda solo le equazioni di ordine superiore al secondo. Poi non so.
. Anche a me sembra molto strano, però ho trovato lo stesso "errore" anche nelle dispense del mio professore e ho notato che è una cosa che riguarda solo le equazioni di ordine superiore al secondo. Poi non so.
Secondo me è un errore di battitura.
Avranno prima pensato il polinomio caratteristico e poi saranno andati a costruirsi la EDO corrispondente facendo copia/incolla e sostituendo \(y^{(n)}\) al posto di \(\lambda^n\); però, facendo ciò, si sono dimenticati di mettere la \(y\) vicino ai termini noti dei polinomi.
Avranno prima pensato il polinomio caratteristico e poi saranno andati a costruirsi la EDO corrispondente facendo copia/incolla e sostituendo \(y^{(n)}\) al posto di \(\lambda^n\); però, facendo ciò, si sono dimenticati di mettere la \(y\) vicino ai termini noti dei polinomi.
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