Analisi 2: dominio funzione due variabili

[Knuckles1]

$f(x,y)=sqrt((x-3)(y-1)-1)$

scusate la banalità della funzione ma non riesco a capire come risolvere la disequazione $(x-3)(y-1)-1>=0$

[franced]

"Knuckles":$f(x,y)=sqrt((x-3)(y-1)-1)$

scusate la banalità della funzione ma non riesco a capire come risolvere la disequazione $(x-3)(y-1)-1>=0$

Prova ad esplicitare rispetto a $y$, stando attento al segno del denominatore.

Ovvero, separa il caso $x > 3$ dal caso $x < 3$.

[Knuckles1]

ok mi viene $y>=(x-2)/(x-3)$ che dovrebbe essere un iperbole, per cui il dominio dovrebbe essere quello che sta all'interno delle due iperboli, iperboli comprese, giusto?

[franced]

"Knuckles":ok mi viene $y>=(x-2)/(x-3)$ che dovrebbe essere un iperbole, per cui il dominio dovrebbe essere quello che sta all'interno delle due iperboli, iperboli comprese, giusto?

Attenzione: devi separare il caso $x>3$ dal caso $x<3$.

Risolvendo la disequazione abbiamo:

$(x-3)(y-1) -1 >= 0$

$(x-3)(y-1) >= 1$

ora devi separare i due casi:

se $x>3$ allora, dividendo per $(x-3) > 0$, si ottiene $y-1 >= 1/(x-3)$ da cui $y >= (x-2)/(x-3)$

se $x<3$ allora, dividendo per $(x-3) < 0$, si ottiene $y-1 <= 1/(x-3)$ da cui $y <= (x-2)/(x-3)$ .

In definitiva, il dominio della funzione è

$y >= (x-2)/(x-3)$ se $x > 3$

$y <= (x-2)/(x-3)$ se $x < 3$

si osservi che per $x=3$ la disequazione iniziale non ha soluzioni (per tale valore, infatti, il radicando è $-1$).

Sul piano il dominio è costituito dall'unione disgiunta delle due parti interne (convesse) ai due rami dell'iperbole.