[Analisi 2] Dimostrazione unicità del limite

[Return89]

Ciao a tutti,
vi scrivo perché ho bisogno di una mano per la dimostrazione del teorema di unicità del limite di funzioni di più variabili.
Naturalmente conosco la dimostrazione del teorema in una variabile, ma ho qualche difficoltà a "trasformarlo" in quello in più variabili.

Grazie in anticipo a chiunque mi voglia aiutare

[Return89]

[luc.mm]

Ahahah, la dimostrazione segue dalle proprietà degli intorni, quindi non dovresti avere problemi a ricavarla. In ogni caso con 3 secondi di ricerche su google scopri: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... del_limite

[Return89]

Ho qualche difficoltà a capire quale dei due intorni (nel caso di $RR^2$) considerare nella dimostrazione per assurdo: cioè immagino che io debba dire che se i limiti sono differenti allora staranno in due intorni separati, salvo poi ricavare che non è così. Ma quale intorno considero? Quello del valore della funzione o quello del piano base (le cui immagini cadono nel valore del limite) ?

Grazie ancora

[luc.mm]

Dunque, supponi ci siano due limiti $ l_1!=l_2 $, per le proprietà degli intorni esistono due intorni disgiunti cioè tali che $ B_1 (l_1) nn B_2 (l_2)=O/ $ (proprietà di separazione di Haussdorf); per cui che se $ x in B(x_0) $ per definizione di limite si ha contemporaneamente $ f(x) in B_1 (l_1) nn B_2 (l_2) $ il che è assurdo perchè tale insieme è vuoto.

Ovvero, fissati due intorni disgiunti dei due limiti, sicuramente per qualche $ x $ in un intorno di $ x_0 $, $ f(x) $ cade in entrambi gli intorni, ma questo non è possibile per la proprietà di sopra.

[Return89]

"luc.mm":Dunque, supponi ci siano due limiti $ l_1!=l_2 $, per le proprietà degli intorni esistono due intorni disgiunti cioè tali che $ B_1 (l_1) nn B_2 (l_2)=O/ $ (proprietà di separazione di Haussdorf); per cui che se $ x in B(x_0) $ per definizione di limite si ha contemporaneamente $ f(x) in B_1 (l_1) nn B_2 (l_2) $ il che è assurdo perchè tale insieme è vuoto.

Ovvero, fissati due intorni disgiunti dei due limiti, sicuramente per qualche $ x $ in un intorno di $ x_0 $, $ f(x) $ cade in entrambi gli intorni, ma questo non è possibile per la proprietà di sopra.

Ma questa è la dimostrazione di $RR$, nel caso $RR^2$? Puoi scrivermi solo le due ipotesi dei due intorni?
Io so che per definizione un limite tende ad un valore l se esiste un intorno del "piano base" (xy) tale che tutte le immagini cadono in un altro intorno (delle quote - asse z insomma)
Grazie

[luc.mm]

La dimostrazione vale in tutte le dimensioni. Nel caso monodimensionale gli intorni si scrivono $ (x_0-delta,x_0+delta) $ e $ (l-epsilon,l+epsilon) $ nel caso bidimensionale si scrivono $ B (x_0 ,y_0)={(x,y) in mathbb(R) ^2 : sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
Comunque la definizione è: per ogni intorno $ V(l) $ del limite nello spazio di arrivo della funzione ($mathbb(R) $), che si traduce, $ AA epsilon >0 $, esiste un intorno $ U(bar(x)_0) $nello spazio di partenza ($mathbb(R) ^2 $), che diventa $ EE delta>0 $, per cui se $ 0

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[Return89]

"luc.mm":La dimostrazione vale in tutte le dimensioni. Nel caso monodimensionale gli intorni si scrivono $ (x_0-delta,x_0+delta) $ e $ (l-epsilon,l+epsilon) $ nel caso bidimensionale si scrivono $ B (x_0 ,y_0)={(x,y) in mathbb(R) ^2 : sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
Comunque la definizione è: per ogni intorno $ V(l) $ del limite nello spazio di arrivo della funzione ($mathbb(R) $), che si traduce, $ AA epsilon >0 $, esiste un intorno $ U(bar(x)_0) $nello spazio di partenza ($mathbb(R) ^2 $), che diventa $ EE delta>0 $, per cui se $ 0
Ok ma quindi per la dimostrazione per assurdo dico semplicemente che il valore del limite cade nello stesso intorno? E quindi la dimostrazione è la stessa per ogni dimensione visto che il valore del limite è sempre un numero reale, giusto? Cioè la "partenza" (intorno in $RR^2$, $RR^3$ ecc è diverso) ma l'arrivo è sempre un intorno di un numero reale.
Corretto?

Grazie!

[luc.mm]

La dimostrazione è la stessa per ogni tipo di funzione con qualsiasi dimensione delle spazio di arrivo e di partenza, quando specifichi la dimensione gli intorni allora li puoi scrivere in certi modi (avrai in mente la famosa definizione $ epsilon-delta $).

A me pare che tu non abbia molto chiaro il concetto di intorno.

quindi per la dimostrazione per assurdo dico semplicemente che il valore del limite cade nello stesso intorno?

Questa frase non ha senso.

Provo un'ultima volta a spiegarmi meglio.

Supponiamo ci siano due valori limite $l_1 $ ed $l_2 $

Definizione di limite implica: fissato $ V_1(l_1) $ un intorno di $ l_1 $ nello spazio di arrivo, esiste $ U_1(bar(x)_0) $ intorno nello spazio di partenza per cui se prendo quegli $ bar(x) in U_1(bar(x)_0) $ allora la loro immagine $ y=f(bar(x)) in V_1(l_1) $

Analogamente fissato $ V_2(l_2) $ un intorno di $ l_2 $ nello spazio di arrivo, esiste $ U_2(bar(x)_0) $ intorno nello spazio di partenza per cui se prendo quegli $ bar(x) in U_2(bar(x)_0) $ allora la loro immagine $ y=f(bar(x)) in V_2(l_2) $

Ora prendiamo gli intorni dei limiti tali $ V_1 nn V_2=O/ $ questo è possibile grazie alla proprietà di separazione di Haussdorf che definisce gli intorni.

Se prendiamo quegli $ bar(x) in U_1(bar(x)_0) nn U_2(bar(x)_0) $ (l'intersezioni di questi intorni non è vuota perchè sono intorno dello stesso punto, quindi sicuramente ci saranno degli $ bar(x) $ dentro entrambi) allora dovendo valere la definizione di limite nei due casi si ha $ y=f(bar(x)) in V_1 nn V_2 $ e questo è assurdo essendo l'insieme vuoto.

A questo punto puoi lasciare la dimostrazione così o scrivere esplicitamente come sono gli intorni, e cosa significa prendere un intorno di $ l in mathbb(R) $, ovvero semplicemente fissare $ epsilon>0 $ e costruire l'insieme $ (l-epsilon,l+epsilon) $, e così via per le altre dimensioni.

Ad esempio intorni nel piano sono cerchi, mentre nello spazio sfere.

[Return89]

Ok tutto chiaro..rileggendo quello che ti avevo scritto in effetti sono stato molto confusionario ma la mia idea era la stessa tua! xD
Ti ringrazio per la spiegazione!