[ANALISI 2] Correzione procedimento integrale curvilineo
Salve, devo svolgere questo integrale curvilineo:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \frac{3+xy+2x}{y+2} dx + ydy \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è la curva data dal grafico di \(\displaystyle y = \sin(\pi x) \) percorsa dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (2,0) \).
Avevo pensato di parametrizzare ogni "pezzo" della curva e quindi dividendola in 4 pezzi, quindi 4 integrali ma non è conveniente.
Un altro metodo sarebbe chiudere la curva con una curva che va dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (2,0) \) e usare Gauss-Green. Parametrizzando la curva che chiamo \(\displaystyle \gamma_{1} \) ho:
\(\displaystyle \begin{cases}x(t) = 0 \\ y(t) = 2t\end{cases} \) con \(\displaystyle t \in [0:1] \)
Quindi calcolo le derivate parziali:
\(\displaystyle \frac{dB}{dx} = 0 \) Con B indico \(\displaystyle y dy \)
\(\displaystyle \frac{dA}{dy} = \frac{-3}{(y+2)^{2}}\) con A indico \(\displaystyle \frac{3+xy+2x}{y+2} dx \)
Quindi:
\(\displaystyle \iint_{D} \frac{3}{(y+2)^{2}}dxdy - ( \int_{\gamma_{1}} \frac{3}{(2t+2)^{2}} * 0 dt + \int_{\gamma_{1}} 4t dt ) \)
Ossia solo:
\(\displaystyle \iint_{D} \frac{3}{(y+2)^{2}}dxdy - \int_{\gamma_{1}} 4t dt \)
Cioè l'integrale col teorema di Gauss-Green su D meno la parte che ho aggiunto, cioè l'integrale (che calcolo usando la definizione) sulla curva che va da \(\displaystyle (0,0) \) a \(\displaystyle (2,0) \).
Dove D si divide in due:
\(\displaystyle D_{1} = 0 \leq x \leq 1; 0 \leq y \leq \sin(\pi x) \)
\(\displaystyle D_{2} = 1 \leq x \leq 2; \sin(\pi x) \leq y \leq 0 \)
E' corretta l'impostazione del problema?
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle \int_{\gamma} \frac{3+xy+2x}{y+2} dx + ydy \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è la curva data dal grafico di \(\displaystyle y = \sin(\pi x) \) percorsa dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (2,0) \).
Avevo pensato di parametrizzare ogni "pezzo" della curva e quindi dividendola in 4 pezzi, quindi 4 integrali ma non è conveniente.
Un altro metodo sarebbe chiudere la curva con una curva che va dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (2,0) \) e usare Gauss-Green. Parametrizzando la curva che chiamo \(\displaystyle \gamma_{1} \) ho:
\(\displaystyle \begin{cases}x(t) = 0 \\ y(t) = 2t\end{cases} \) con \(\displaystyle t \in [0:1] \)
Quindi calcolo le derivate parziali:
\(\displaystyle \frac{dB}{dx} = 0 \) Con B indico \(\displaystyle y dy \)
\(\displaystyle \frac{dA}{dy} = \frac{-3}{(y+2)^{2}}\) con A indico \(\displaystyle \frac{3+xy+2x}{y+2} dx \)
Quindi:
\(\displaystyle \iint_{D} \frac{3}{(y+2)^{2}}dxdy - ( \int_{\gamma_{1}} \frac{3}{(2t+2)^{2}} * 0 dt + \int_{\gamma_{1}} 4t dt ) \)
Ossia solo:
\(\displaystyle \iint_{D} \frac{3}{(y+2)^{2}}dxdy - \int_{\gamma_{1}} 4t dt \)
Cioè l'integrale col teorema di Gauss-Green su D meno la parte che ho aggiunto, cioè l'integrale (che calcolo usando la definizione) sulla curva che va da \(\displaystyle (0,0) \) a \(\displaystyle (2,0) \).
Dove D si divide in due:
\(\displaystyle D_{1} = 0 \leq x \leq 1; 0 \leq y \leq \sin(\pi x) \)
\(\displaystyle D_{2} = 1 \leq x \leq 2; \sin(\pi x) \leq y \leq 0 \)
E' corretta l'impostazione del problema?
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Non ti viene complesso l'integrale usando la definizione?
Viene una roba del tipo:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{3+t \sin(\pi t) + 2t}{\sin(\pi t) +2} * 1 + \sin(\pi t) * \pi \cos(\pi t) dt \)
Quindi andando a sostituire al campo vettoriale: \(\displaystyle x = t \\ y = \sin(\pi t) \) con \(\displaystyle t \in [0:2] \)
Se fosse corretto per me questo integrale è un po' difficile da svolgere
Viene una roba del tipo:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{3+t \sin(\pi t) + 2t}{\sin(\pi t) +2} * 1 + \sin(\pi t) * \pi \cos(\pi t) dt \)
Quindi andando a sostituire al campo vettoriale: \(\displaystyle x = t \\ y = \sin(\pi t) \) con \(\displaystyle t \in [0:2] \)
Se fosse corretto per me questo integrale è un po' difficile da svolgere
Grazie mille ho capito
Non sono molto d'accordo con TeM a livello metodologico. Escher aveva già ridotto l'integrale curvilineo a uno ordinario, qui:
Questo risultato è corretto e si puo' ottenere in pochi secondi usando la sostituzione "urang-utang" $y=\sin(\pi t),\ dy=\pi\cos(\pi t)dt.$ Perché rifare tutto daccapo?
P.S. : @Escher: sono rimasto un po' perplesso dal tuo uso dell'aggettivo "complesso", pensavo ti riferissi ai numeri complessi. In questi casi meglio dire "complicato".
"Escher":
Non ti viene complesso l'integrale usando la definizione?
Viene una roba del tipo:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{3+t \sin(\pi t) + 2t}{\sin(\pi t) +2} * 1 + \sin(\pi t) * \pi \cos(\pi t) dt \)
Quindi andando a sostituire al campo vettoriale: \(\displaystyle x = t \\ y = \sin(\pi t) \) con \(\displaystyle t \in [0:2] \)
Se fosse corretto per me questo integrale è un po' difficile da svolgere
Questo risultato è corretto e si puo' ottenere in pochi secondi usando la sostituzione "urang-utang" $y=\sin(\pi t),\ dy=\pi\cos(\pi t)dt.$ Perché rifare tutto daccapo?
P.S. : @Escher: sono rimasto un po' perplesso dal tuo uso dell'aggettivo "complesso", pensavo ti riferissi ai numeri complessi. In questi casi meglio dire "complicato".
Si effettivamente non sono stato chiaro, per esercizio ho svolto l'esercizio (scusate la ripetizione) anche con Gauss-Green.
In principio va benissimo usare le formule di Gauss Green, naturalmente. Devi solo controllare bene i conti ma mi pare che il procedimento sia giusto.
Si infatti ho risolto ,mi viene. C'erano solo delle imprecisioni sul verso della curva ma ho corretto.
Grazie a tutti
Grazie a tutti
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