[Analisi 2] Convergenza uniforme successione numerica
Buongiorno a tutti,
sto attualmente riscontrando difficoltà con gli esercizi delle successioni numeriche. Ho in particolare questo esercizio su cui sono bloccato:
Data la $f_n(x) =( \sqrt{n^2+n^{\alpha}} - n)*log(1+\frac{x^n}{2^n})$ con $\alpha$ compreso tra 0(escluso) ed 1 e x da 0 a infinito.
mi chiede di trovare l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
Per quanto riguarda la puntuale, sono riuscito a sistemare fino a trovare
$ lim_{n->\infty} \frac{x^n}{2^n} $ Sono abbastanza insicuro che questa funzione NON sia corretta.
Quindi per esserci convergenza devo avere x tra 0 e 2.
Ora però devo studiare la convergenza uniforme...
Qua io so che devo fare sup$ |fn(x) - f(x)|$. f(x) è la funzione sistemata trovata in precedenza del limite mentre fn è la successione di partenza. Qua sono bloccatissimo. Non so onestamente come andare avanti e che procedimento devo fare per ottenere se ho convergenza o meno. so che una volta trovata la funzione finale devo fare il limite e vedere se vale 0 ma tutto in mezzo è buio totale.
Qualcuno che riesce ad aiutarmi?
Grazie infinitamente in anticipo
sto attualmente riscontrando difficoltà con gli esercizi delle successioni numeriche. Ho in particolare questo esercizio su cui sono bloccato:
Data la $f_n(x) =( \sqrt{n^2+n^{\alpha}} - n)*log(1+\frac{x^n}{2^n})$ con $\alpha$ compreso tra 0(escluso) ed 1 e x da 0 a infinito.
mi chiede di trovare l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
Per quanto riguarda la puntuale, sono riuscito a sistemare fino a trovare
$ lim_{n->\infty} \frac{x^n}{2^n} $ Sono abbastanza insicuro che questa funzione NON sia corretta.
Quindi per esserci convergenza devo avere x tra 0 e 2.
Ora però devo studiare la convergenza uniforme...
Qua io so che devo fare sup$ |fn(x) - f(x)|$. f(x) è la funzione sistemata trovata in precedenza del limite mentre fn è la successione di partenza. Qua sono bloccatissimo. Non so onestamente come andare avanti e che procedimento devo fare per ottenere se ho convergenza o meno. so che una volta trovata la funzione finale devo fare il limite e vedere se vale 0 ma tutto in mezzo è buio totale.
Qualcuno che riesce ad aiutarmi?
Grazie infinitamente in anticipo
Risposte
Prima di tutto dovresti razionalizzare
$g_n = \sqrt(n^2+n^\alpha ) -n = $
$(\sqrt(n^2+n^\alpha ) -n) (\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n)/(\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n) = $
$n^\alpha /(\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n) $
e poi concludere che se $\alpha < 1$
$lim_{n-> \infty} g_n = 0$
se $\alpha =1$
$lim_{n-> \infty} g_n = 1/2$
$g_n = \sqrt(n^2+n^\alpha ) -n = $
$(\sqrt(n^2+n^\alpha ) -n) (\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n)/(\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n) = $
$n^\alpha /(\sqrt(n^2+n^\alpha ) +n) $
e poi concludere che se $\alpha < 1$
$lim_{n-> \infty} g_n = 0$
se $\alpha =1$
$lim_{n-> \infty} g_n = 1/2$
Ti faccio una domanda, perche' se non sai rispondere a questa di sicuro non sai rispondere neanche al tuo esercizio.
Data la ben piu' semplice funzione
$f_n(x) = x^n$, con $x >= 0$,
saresti in grado di trovare l'intervallo di convergenza puntuale ed uniforme ?
Data la ben piu' semplice funzione
$f_n(x) = x^n$, con $x >= 0$,
saresti in grado di trovare l'intervallo di convergenza puntuale ed uniforme ?
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