Analisi 2 - Area Porzione di cono interna al cilindro
Ragazzi quello che vi sto per chiedere è un esercizio di analisi 2 che non ho ancora capito bene come si svolge. questo è l'esercizio:
Ho provato a risolverlo cercando gli estremi di integrazione facendo:
$ (x^2+y^2)/3 =(x^2+y^2-4y)^2 $
ma alla fine viene fuori
$ 3x^4+3y^4+47y^2+6x^2y^2-24x^2y-24y^3-x^2=0 $
e da quì non so più come procedere per trovare gli estremi di integrazione.
Area della porzione di cono \(\displaystyle x^2+y^2=3z^2 , z>0\) interna al cilindro \(\displaystyle x^2+y^2-4y=0 \)
Ho provato a risolverlo cercando gli estremi di integrazione facendo:
$ (x^2+y^2)/3 =(x^2+y^2-4y)^2 $
ma alla fine viene fuori
$ 3x^4+3y^4+47y^2+6x^2y^2-24x^2y-24y^3-x^2=0 $
e da quì non so più come procedere per trovare gli estremi di integrazione.
Risposte
se è interna al cilindro,vuol dire che la sua proiezione sul piano $z=0$ è proprio la parte di piano interna alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-4y=0$
quindi questo vuol dire che non serve calcolare gli estremi di integrazione dipendenti da $ x^2+y^2=3z^2 $ ?
basta calcolare gli estremi di $ x^2+y^2-4y=0 $ ?
di conseguenza se la mia conclusione è esatta bisogna risolvere:
$ rho^2-4rhosentheta=0rArr rho(rho-4sentheta)=0rArr0
è giusto il mio procedimento?
basta calcolare gli estremi di $ x^2+y^2-4y=0 $ ?
di conseguenza se la mia conclusione è esatta bisogna risolvere:
$ rho^2-4rhosentheta=0rArr rho(rho-4sentheta)=0rArr0
è giusto il mio procedimento?
sì
ok, ora però per passare alle coordinate polari devo trovare anche gli estremi di integrazione di $ z $ e di $ theta $ , quest'ultimo angolo non ha restrizioni quindi varia $ 0
se si posso procedere al calcolo dell'integrale che viene fuori:
$ int_(0)^(2pi) d thetaint_(0)^(1) dzint_(0)^(4sentheta) rho^2 -3z^2 rhod rho $
risolvendo quindi (Faccio tutti i passaggi):
$ int_(0)^(2pi) d theta (-3int_(0)^(1)z^2 dz int_(0)^(4sentheta) rho^3 d rho) $ $ rArr -3*1/3 int_(0)^(2pi)rho^4/4|_(0)^(4sentheta) rArr -1 int_(0)^(2pi)4^3sen^4theta $ $ rArr -4^3int_(0)^(2pi)sen^4theta $
che viene fuori 0, il risultato del professore invece è:
$ 8/sqrt(3) pi $
se si posso procedere al calcolo dell'integrale che viene fuori:
$ int_(0)^(2pi) d thetaint_(0)^(1) dzint_(0)^(4sentheta) rho^2 -3z^2 rhod rho $
risolvendo quindi (Faccio tutti i passaggi):
$ int_(0)^(2pi) d theta (-3int_(0)^(1)z^2 dz int_(0)^(4sentheta) rho^3 d rho) $ $ rArr -3*1/3 int_(0)^(2pi)rho^4/4|_(0)^(4sentheta) rArr -1 int_(0)^(2pi)4^3sen^4theta $ $ rArr -4^3int_(0)^(2pi)sen^4theta $
che viene fuori 0, il risultato del professore invece è:
$ 8/sqrt(3) pi $
non devi calcolare un integrale triplo,ma un integrale di superficie: devi calcolare l'area della superficie conica interna al cilindro
giusto non ci pensavo, quindi la formula per calcolare l'integrale sarebbe: $ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(4sentheta)sqrt(1+(f^1x)^2+(f^1y)^2) rho d rho $ e una volta calcolate le derivate parziali devo passare alle coordinate polari, giusto?
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