Analisi 2

[ninja986]

Come si possono ricercare i punti di MAX e MIN, sia relativi che assoluti di una funzione??
La prima cosa da fare è porre il Grad f=0 e si ottengono i punti critici. E poi??

grazie x le risposte

[vl4dster]

Ti conviene aprire un qualsiasi libro, sara' spiegato meglio... questo e' quello che ricordo dal corso di analisi :
se $f \in C^2$, $x_0$ e' un punto interno del dominio, e $H(x_0)$ indica l'hessiana hai la seguente condizione sufficiente:
se $\grad f(x_0) = 0$ e $H(x_0)$ e' definita positiva (negativa), hai un punto di minimo (massimo) relativo.

Poi dovresti controllare la frontiera del dominio della $f$.

Esistono diversi modi per vedere se una matrice $A_n$ e' definita positiva, ad esempio,
se $(\cdot,\cdot)$ indica il p. scalare:
1) $(A_n v,v) > 0$ per ogni direzione $v$ (che possiamo prendere come definizione)
2) Tutti gli autovalori di $A_n$ sono positivi
3) Tutte le sottomatrici quadrate-sinistre-superiori di $A_n$ hanno determinante positivo.

Se l'hessiana non e' definita-positiva(o negativa) allora hai una sella.
Se l'hessiana e' semi-definita, ovvero se le quantita' sopra menzionate possono andare a 0,
non puoi concludere e devi andare per ispezione...

La condizione si dimostra con Taylor in piu' variabili al secondo ordine.

fine.

edit:
Ah gia'... puoi anche trovare i punti critici con un algoritmo per la ricerca degli zeri,
ad esempio newton in piu' variabili, oppure il metodo del gradiente... in un qualsiasi libro di testo
o in rete sono spiegati molto bene.

[codino75]

essenzialmente devi studiarti le condizioni necessarie e quelle sufficienti....