Analisi 1:volume solido di rotazione
Salve, sono capitata su questo esercizio di analisi 1 e avrei bisogno di un aiuto:
Determinare il volume di un solido di rotazione ottenuto facendo ruotare la regione $0<=y<=1-x^2$ attorno alla retta $y=-2$.
In particolare non so come impostare l'esercizio perché non ho una semplice funzione ma questa regione di spazio y. Spero che qualcuno possa darmi una mano. Grazie in anticipo.
Determinare il volume di un solido di rotazione ottenuto facendo ruotare la regione $0<=y<=1-x^2$ attorno alla retta $y=-2$.
In particolare non so come impostare l'esercizio perché non ho una semplice funzione ma questa regione di spazio y. Spero che qualcuno possa darmi una mano. Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Lisalander,
Benvenuta sul forum!
In questi casi io consiglio sempre di farsi un disegnino della situazione per capire come stanno le cose. In pratica si tratta di una parabola con la concavità verso il basso che interseca l'asse delle $x $ (di equazione $y = 0 $) nei punti $x = - 1 $ e $x = 1 $. Si potrebbe procedere o operando un'opportuna traslazione degli assi cartesiani in modo che la nuova origine sia il punto $O' (0, - 2) $, ovvero porre $X = x $ e $Y = y + 2 $, oppure, che è ciò che sto per fare, considerare la differenza fra l'ordinata della funzione $y = 1 - x^2 $ e l'ordinata della retta $y = - 2 $, integrarne il quadrato moltiplicato per $\pi $ fra $x = - 1 $ e $x = 1 $ e poi sottrarre a tale volume il volume del cilindro retto di altezza $2 $ (da $x = - 1$ a $x = 1 $) e raggio $r = 2 $ ($y = - 2 \implies r = |y| = 2 $).
In formule, se non erro, il volume del solido di rotazione richiesto è il seguente:
$V = int_{- 1}^1 \pi(1 - x^2 - (- 2))^2 dx - V_{cil} = \pi int_{- 1}^1 (3 - x^2)^2 dx - 2^2\pi \cdot 2 = frac{72\pi}{5} - 8\pi = frac{32\pi}{5} $
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In questi casi io consiglio sempre di farsi un disegnino della situazione per capire come stanno le cose. In pratica si tratta di una parabola con la concavità verso il basso che interseca l'asse delle $x $ (di equazione $y = 0 $) nei punti $x = - 1 $ e $x = 1 $. Si potrebbe procedere o operando un'opportuna traslazione degli assi cartesiani in modo che la nuova origine sia il punto $O' (0, - 2) $, ovvero porre $X = x $ e $Y = y + 2 $, oppure, che è ciò che sto per fare, considerare la differenza fra l'ordinata della funzione $y = 1 - x^2 $ e l'ordinata della retta $y = - 2 $, integrarne il quadrato moltiplicato per $\pi $ fra $x = - 1 $ e $x = 1 $ e poi sottrarre a tale volume il volume del cilindro retto di altezza $2 $ (da $x = - 1$ a $x = 1 $) e raggio $r = 2 $ ($y = - 2 \implies r = |y| = 2 $).
In formule, se non erro, il volume del solido di rotazione richiesto è il seguente:
$V = int_{- 1}^1 \pi(1 - x^2 - (- 2))^2 dx - V_{cil} = \pi int_{- 1}^1 (3 - x^2)^2 dx - 2^2\pi \cdot 2 = frac{72\pi}{5} - 8\pi = frac{32\pi}{5} $
Ho capito il ragionamento è ho seguito il tuo consiglio! Ho fatto un grafico e devo dire che adesso è tutto più chiaro. Grazie mille per l'aiuto e per la disponibilità!
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