Analisi 1 spiegazioni
ciao, frequento fisica e sono davvero in difficoltà con analisi 1... il fatto è che leggendo la teoria non riesco ad arrivare ad un risultato obbiettivo, nel senso che non riesco proprio a trovare un fine ultimo a questa materia.
A me piace tantissimo la matematica, ma questa analisi 1 mi mette davvero in difficoltà...(non venitemi a dire che non dovevo fare questa scelta universitaria
).
Il mio obbiettivo è quello di imparare quindi ho deciso di tornare sul forum per farmi aiutare da esperti, visto che da solo anche se ci metto molto impegno e tante ore di studio vado poco lontano...
Lo so, devo chiedere anche al mio professore di analisi... ma se chiedo mi rispiega le cose in modo ancora più complicato di prima e mi scombussola solo le idee, e spesso prende per scontato che io conosca terminologie e varie espressioni riguardanti la matematica.
Quindi volevo iniziare con il porre qualche domanda generale sull'analisi 1(nel caso linkatemi anche qualche Link con esercizi e teoria, io accetto e leggo tutto.)
1) il mio libro parte con una serie di teoremi sugli insiemi dei numeri reali... il mio obbiettivo è davvero solo quello di impararli a memoria?
molta gente mi ha detto che il professore in un esame orale chiede molto spesso di ripetere il teorema introducendo anche vari esempi... ma così non mi piace molto, io vorrei capirli e spiegarli...
2) il docente qualche giorno fa ci ha dato un esercizio da fare a casa... soltanto che io non ho ben capito cosa chiedesse...
in pratica ha scritto questo alla lavagna:
$Q^2 sub RR^2$ e poi ci ha fatto la domanda:
esiste nel piano una retta che non passa in nessun punto che abbia le coordinate razionali?
sarò stupido io, ma non ho davvero capito che devo fare... anche quando l'ha spiegato ho cercato di stare attentissimo, ma niente, voi l'avete capito... sapreste spiegarmelo?
Una cosa però è certa, devo smetterla di ragionare come se fossi alle superiori, qui le cose si fanno solo ragionando e non meccanicamente
A me piace tantissimo la matematica, ma questa analisi 1 mi mette davvero in difficoltà...(non venitemi a dire che non dovevo fare questa scelta universitaria
).Il mio obbiettivo è quello di imparare quindi ho deciso di tornare sul forum per farmi aiutare da esperti, visto che da solo anche se ci metto molto impegno e tante ore di studio vado poco lontano...
Lo so, devo chiedere anche al mio professore di analisi... ma se chiedo mi rispiega le cose in modo ancora più complicato di prima e mi scombussola solo le idee, e spesso prende per scontato che io conosca terminologie e varie espressioni riguardanti la matematica.
Quindi volevo iniziare con il porre qualche domanda generale sull'analisi 1(nel caso linkatemi anche qualche Link con esercizi e teoria, io accetto e leggo tutto.)
1) il mio libro parte con una serie di teoremi sugli insiemi dei numeri reali... il mio obbiettivo è davvero solo quello di impararli a memoria?
molta gente mi ha detto che il professore in un esame orale chiede molto spesso di ripetere il teorema introducendo anche vari esempi... ma così non mi piace molto, io vorrei capirli e spiegarli...
2) il docente qualche giorno fa ci ha dato un esercizio da fare a casa... soltanto che io non ho ben capito cosa chiedesse...
in pratica ha scritto questo alla lavagna:
$Q^2 sub RR^2$ e poi ci ha fatto la domanda:
esiste nel piano una retta che non passa in nessun punto che abbia le coordinate razionali?
sarò stupido io, ma non ho davvero capito che devo fare... anche quando l'ha spiegato ho cercato di stare attentissimo, ma niente, voi l'avete capito... sapreste spiegarmelo?
Una cosa però è certa, devo smetterla di ragionare come se fossi alle superiori, qui le cose si fanno solo ragionando e non meccanicamente
Risposte
Ciao. Analisi uno è un bello scoglio per tanti studenti, soprattutto per chi non ha fatto particolarmente bene matematica al liceo. Quindi non scoraggiarti, e se ti sembra ti non capirci molto... sei sulla buona strada 
Per rispondere alla tua prima domanda: no. I teoremi si affrontano passo dopo passo, smontandoli, e ricostruendo tutto dalle ipotesi alla conclusione. Una volta che hai capito a fondo, allora certo, devi anche saperli ripetere, in vista dell'esame orale. Ma la memorizzazione pura funziona solo fino ad un certo punto: a un certo punto deve subentrare il cervello.
Il mio consiglio è quello di evitare di intestardirsi a voler ricordare ogni dettaglio, cosa che magari (per chi ci riesce) è utile per passare l'esame ma non per capirci effettivamente qualcosa. Piuttosto, assicurati di aver capito bene, e poi chiediti quali sono i punti salienti, quali sono le tecniche usate, qual è il procedimento seguito. Poi prova a dimostrare il tutto per conto tuo, tenendo ben presente tutto questo.
Ad esempio, molti teoremi in analisi uno fanno uso di catene di maggiorazioni standard, che non hai bisogno di ricordare per un teorema specifico, ma che conosci in generale; molto spesso, per uscire da un'empasse basta applicare una definizione, o sfruttare un'ipotesi in modo molto diretto. Per dimostrazioni di questo genere non hai bisogno di ricordare granché. Altre volte tutto si basa su un'osservazione intelligente, o su un'argomentazione che una volta compresa è facile esporre nei dettagli (tipo la diagonale di Cantor).
Per quanto riguarda la seconda domanda: la richiesta è trovare nel piano, se esistono, delle rette i cui punti sono tutti irrazionali. Può essere istruttivo ragionare in modo molto meccanico.
Una retta si esprime con l'equazione $y(x)=mx+q$. La domanda si riformula in questo modo: è possibile trovare una coppia di numeri $(m,q)$ tale che la coppia $(x,y)$ non è composta solo da razionali, per ogni scelta di $x inRR$? (hint: considera le operazioni tra razionali e irrazionali).
Per rispondere alla tua prima domanda: no. I teoremi si affrontano passo dopo passo, smontandoli, e ricostruendo tutto dalle ipotesi alla conclusione. Una volta che hai capito a fondo, allora certo, devi anche saperli ripetere, in vista dell'esame orale. Ma la memorizzazione pura funziona solo fino ad un certo punto: a un certo punto deve subentrare il cervello.
Il mio consiglio è quello di evitare di intestardirsi a voler ricordare ogni dettaglio, cosa che magari (per chi ci riesce) è utile per passare l'esame ma non per capirci effettivamente qualcosa. Piuttosto, assicurati di aver capito bene, e poi chiediti quali sono i punti salienti, quali sono le tecniche usate, qual è il procedimento seguito. Poi prova a dimostrare il tutto per conto tuo, tenendo ben presente tutto questo.
Ad esempio, molti teoremi in analisi uno fanno uso di catene di maggiorazioni standard, che non hai bisogno di ricordare per un teorema specifico, ma che conosci in generale; molto spesso, per uscire da un'empasse basta applicare una definizione, o sfruttare un'ipotesi in modo molto diretto. Per dimostrazioni di questo genere non hai bisogno di ricordare granché. Altre volte tutto si basa su un'osservazione intelligente, o su un'argomentazione che una volta compresa è facile esporre nei dettagli (tipo la diagonale di Cantor).
Per quanto riguarda la seconda domanda: la richiesta è trovare nel piano, se esistono, delle rette i cui punti sono tutti irrazionali. Può essere istruttivo ragionare in modo molto meccanico.
Una retta si esprime con l'equazione $y(x)=mx+q$. La domanda si riformula in questo modo: è possibile trovare una coppia di numeri $(m,q)$ tale che la coppia $(x,y)$ non è composta solo da razionali, per ogni scelta di $x inRR$? (hint: considera le operazioni tra razionali e irrazionali).
il fatto è che non riesco proprio a dimostrarlo con delle formule... dovrei usare il principio di induzione per arrivare al risultato?
Innanzitutto, non tirare a caso... Cosa c'entra l'induzione?
Vedi per caso numeri naturali in giro?
Quello che ti viene chiesto è dimostrare o confutare che esista una retta nel piano la quale non passi per alcun punto avente (almeno una? entrambe?) coordinate razionali.
Come si fa?
Boh! Cerchiamo un modo insieme.
Innanzitutto, tentiamo di formalizzare ciò che vogliamo provare o confutare. Usando i simboli opportuni, possiamo dire di volere analizzare la verità della seguente proposizione:
\[\tag{E}
\exists r \subseteq \mathbb{R}^2 \text{ retta} :\ \forall p,q\in \mathbb{Q},\ (p,q) \notin r
\]
se la richiesta è quella con punti aventi entrambe le coordinate razionali, oppure:
\[\tag{A}
\exists r \subseteq \mathbb{R}^2 \text{ retta} :\ \forall p,q\in \mathbb{Q},\forall x,y\in \mathbb{R},\ (p,y),(x,q) \notin r
\]
se è richiesta almeno una coordinata razionale.
La proposizione (E) è vera: infatti alla retta $r$ del piano avente equazione cartesiana $y=sqrt(2)$ appartengono solo punti aventi coordinate del tipo $(x,sqrt(2))$, perciò nessun punto di $r$ ha entrambe le coordinate razionali.
La proposizione (A) è più difficile da analizzare... Prova un po' a vedere cosa riesci a fare, anche seguendo il consiglio di chi mi ha preceduto.
Poi ne parliamo.
Vedi per caso numeri naturali in giro?
Quello che ti viene chiesto è dimostrare o confutare che esista una retta nel piano la quale non passi per alcun punto avente (almeno una? entrambe?) coordinate razionali.
Come si fa?
Boh! Cerchiamo un modo insieme.
Innanzitutto, tentiamo di formalizzare ciò che vogliamo provare o confutare. Usando i simboli opportuni, possiamo dire di volere analizzare la verità della seguente proposizione:
\[\tag{E}
\exists r \subseteq \mathbb{R}^2 \text{ retta} :\ \forall p,q\in \mathbb{Q},\ (p,q) \notin r
\]
se la richiesta è quella con punti aventi entrambe le coordinate razionali, oppure:
\[\tag{A}
\exists r \subseteq \mathbb{R}^2 \text{ retta} :\ \forall p,q\in \mathbb{Q},\forall x,y\in \mathbb{R},\ (p,y),(x,q) \notin r
\]
se è richiesta almeno una coordinata razionale.
La proposizione (E) è vera: infatti alla retta $r$ del piano avente equazione cartesiana $y=sqrt(2)$ appartengono solo punti aventi coordinate del tipo $(x,sqrt(2))$, perciò nessun punto di $r$ ha entrambe le coordinate razionali.
La proposizione (A) è più difficile da analizzare... Prova un po' a vedere cosa riesci a fare, anche seguendo il consiglio di chi mi ha preceduto.
Poi ne parliamo.
devo in pratica trovare dalla formula dell'equazione della retta $y=mx+q$ una $m$ ed una $q$ che non facciamo diventare $x$ e $y$ due numeri razionali?
dovrei andare con numeri casuali fino a che non arrivo al risultato?
dovrei andare con numeri casuali fino a che non arrivo al risultato?
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