Analisi 1 - Serie numerica

[Davide Legacci]

Salve a tutti. Questa mattina ho dato analisi 1 e tra gli esercizi c'era la seguente serie:

$ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^3)-cos (1/n)) $

Ho ragionato così:

$ lim_{n \to \infty}cos(1/n)=1 $ quindi $ cos(1/n)~1 if nrarroo $ da cui ho dedotto $ (e^(1/n^3)-cos(1/n))~ (e^(1/n^3)-1)if n→oo $

da cui facilmente

$ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^3)-cos (1/n))~ sum_{n=1}^oo (e^(1/n^3)-1)~ sum_{n=1}^oo (1/n)^3 $

che converge.

Ora effettivamente la serie converge, ma quanto ho scritto è decisamente sbagliato. La serie è in effetti asintotica a $ 1/n^2 $ e non a $ 1/n^3 $ , risultato cui sono arrivato amaramente con un paio di termini dello sviluppo di MacLaurin.

Qualcuno saprebbe dirmi come mai questo passaggio $ (e^(1/n^3)-cos (1/n))~ (e^(1/n^3)-1)$ è sbagliato?

Grazie in anticipo.

[Noisemaker]

"DavideL":
$ lim_{n \to \infty}cos(1/n)=1 $ quindi $ cos(1/n)~1 if nrarroo $ da cui ho dedotto $ (e^(1/n^3)-cos(1/n))~ (e^(1/n^3)-1)if n→oo $

questo non è corretto... il passaggio corretto è, una volta che ti sei accertato che la serie sia a termini positivi (o di segno costante)
\begin{align}
e^{\frac{1}{n^3}}-\cos\frac{1}{n}=e^{\frac{1}{n^3}}-1+1-\cos\frac{1}{n}\sim \frac{1}{n^3}+ \frac{1}{2n^2}\sim \frac{1}{n^2}\to\mbox{converge}
\end{align}

[Davide Legacci]

Chiaro, grazie mille.