Analisi 1 (problema veramente grande)
Allora, ho l'esame il 10 ma nonostante abbia nel piano di studi analisi 1 a 7 crediti, da quest'anno invece delle approssimazioni di Taylor nella prova scritta ci sono le serie. Naturalmente non frequentando l'università l'ho saputo solamente adesso.Ho 5 giorni di tempo per riuscire a capire come risolvere questi esercizi:
http://poincare.dma.unifi.it/~stefani/d ... cembre.pdf
se qualcuno mi dà una mano gliene sarei veramente grato.Spero che tutto quello che ho imparato su Taylor (grazie a voi) me lo ritrovi ad Analisi 2 o che insomma mi serva a qualcosa.Ma si può cambiare il programma così come uno vuole?
http://poincare.dma.unifi.it/~stefani/d ... cembre.pdf
se qualcuno mi dà una mano gliene sarei veramente grato.Spero che tutto quello che ho imparato su Taylor (grazie a voi) me lo ritrovi ad Analisi 2 o che insomma mi serva a qualcosa.Ma si può cambiare il programma così come uno vuole?
Risposte
Naturalmente se prima non studi la teoria sarebbe inutile svolgere esercizi, quindi ti consiglio di leggerti qualche testo o qualche dispensa sullo studio delle serie
"davidcape":
Allora, ho l'esame il 10 ma nonostante abbia nel piano di studi analisi 1 a 7 crediti, da quest'anno invece delle approssimazioni di Taylor nella prova scritta ci sono le serie. Naturalmente non frequentando l'università l'ho saputo solamente adesso.Ho 5 giorni di tempo per riuscire a capire come risolvere questi esercizi:
http://poincare.dma.unifi.it/~stefani/d ... cembre.pdf
se qualcuno mi dà una mano gliene sarei veramente grato.Spero che tutto quello che ho imparato su Taylor (grazie a voi) me lo ritrovi ad Analisi 2 o che insomma mi serva a qualcosa.Ma si può cambiare il programma così come uno vuole?
Prova 1
1) una serie
$$sum_(k=1)^infty$
converge se il limite
$lim_(N rightarrow infty)sum_(k=1)^N$
è finito, diverge altrimenti. è indeterminata se non converge a nessun valore, ad esempio
$1-1+1-1+1-...$
saltella tra 1 e 0 ma non converge a nessun valore.
3)L'integrale improprio converge se il limite
$lim_(X rightarrow infty)int_4^X f(x)dx$
è finito, altrimenti diverge.
4)se $a_n=(3x)^n$ allora
sum_(n=1)^infty (3x)^n
converge se $|x|<1/3$ infatti in tal caso si ha una particolare serie geometrica, diverge altrimenti.
5)Abbiamo
$int_4^infty x^(-alpha) dx$
vediamo che
$int x^(-alpha) dx= (x^(-alpha+1))/(-alpha+1)$ se $alpha !=1$ altrimenti $ln(x)$
quindi l'integrale converge se $alpha<1$ altrimenti diverge.
Spero di aver scritto in modo chiaro.
Ciao!
grazie carlo 23.ti ringrazio tantissimo.
x cavalli:stò studiando sul libro ma è un argomento troppo vasto da studiare in così poco tempo....mi interessa più che altro sapere cose come mi ha detto carlo 23,sò che forse non saranno sufficienti, ma almeno non lascierò il foglio bianco!!!
Ragazzi se qualcun altro può scrivere qualcosa ben venga!!!
x cavalli:stò studiando sul libro ma è un argomento troppo vasto da studiare in così poco tempo....mi interessa più che altro sapere cose come mi ha detto carlo 23,sò che forse non saranno sufficienti, ma almeno non lascierò il foglio bianco!!!
Ragazzi se qualcun altro può scrivere qualcosa ben venga!!!
Ho visto che le altre prove sono + o - simili. La quinta è un pò differente
Prova 5
1)La serie
$sum_(n=1)^infty (3sin(x))^n$
altro non è che una serie è una serie geometrica di argomento $3sin(x)$, la serie geometrica converge solo se il suo
argomento è in modulo <1. Quindi la serie in questione converge se e solo se $sin(x)< 1/3$ e quindi $x
2) Il grafico non è particolarmente difficile da disegnare, passiamo all'integrale
$int_(-2)^1 f(x)dx$
dividiamolo in due integrali
$int_(-2)^1 f(x)dx=int_(-2)^0 f(x) dx + int_0^1 f(x)dx$
ricordando che se $x<0$ allora $f(x)=x^2-1$ abbiamo che il primo integrale è
$int_(-2)^0 f(x) dx=int_(-2)^0 (x^2-1) dx=[x^3/3-x]_(-2)^0=8/3-2=2/3$
ricordando che se $x>0$ allora $f(x)=arctan(x)$ abbiamo che il secondo integrale è
$int_0^1 f(x)dx= int_0^1 arctan(x)dx= [x arctan(x)-1/2 ln(1+x^2)]_0^1=arctan(1)-1/2 ln(2)=pi/4-1/2 ln(2)$
da cui ti calcoli la somma degli integrali e gli interpreti come aree.
Dovrebbe essere tutto giusto, ciao!
Prova 5
1)La serie
$sum_(n=1)^infty (3sin(x))^n$
altro non è che una serie è una serie geometrica di argomento $3sin(x)$, la serie geometrica converge solo se il suo
argomento è in modulo <1. Quindi la serie in questione converge se e solo se $sin(x)< 1/3$ e quindi $x
2) Il grafico non è particolarmente difficile da disegnare, passiamo all'integrale
$int_(-2)^1 f(x)dx$
dividiamolo in due integrali
$int_(-2)^1 f(x)dx=int_(-2)^0 f(x) dx + int_0^1 f(x)dx$
ricordando che se $x<0$ allora $f(x)=x^2-1$ abbiamo che il primo integrale è
$int_(-2)^0 f(x) dx=int_(-2)^0 (x^2-1) dx=[x^3/3-x]_(-2)^0=8/3-2=2/3$
ricordando che se $x>0$ allora $f(x)=arctan(x)$ abbiamo che il secondo integrale è
$int_0^1 f(x)dx= int_0^1 arctan(x)dx= [x arctan(x)-1/2 ln(1+x^2)]_0^1=arctan(1)-1/2 ln(2)=pi/4-1/2 ln(2)$
da cui ti calcoli la somma degli integrali e gli interpreti come aree.
Dovrebbe essere tutto giusto, ciao!
carlo io non sò davvero come ringraziarti, grazie mille davvero!!
il punto 6 della prova 1: la risposta è converge se n maggiore o uguale a 1?
"davidcape":
il punto 6 della prova 1: la risposta è converge se n maggiore o uguale a 1?
Il quesito riguarda $alpha$ non $n$, forsehai sbagliato a digitare. La risposta è se $|alpha|>1$, non saprei però come spiegarlo in modo semplice...
Vabbe, ti posto le risposte dell'ultima prova.
Prova 6
1) Non è difficile, basta sapere che per disegnare il grafico di una generica funzione $f(x+a)$ basta disegnare il
grafico della funzione $f(x)$ spostato di $a$ verso sinistra rispetto all'origine, e che per disegnare il grafico di
una funzione $|f(x)|$ basta disegnare il grafico della funzione $f(x)$ "specchiando" verso l'alto tutte le parti negative
di questa e lasciando invariate le parti positivi (non è un discorso molto tecnico ma funziona).
2)Altro non è che l'integrale
$int_20^30 f(x) dx=int_20^30 ||ln(x-5)|-1| dx$
per $x>e+5$ abbiamo che $||ln(x-5)|-1|=ln(x-5)-1$, quindi essendo il dominio dell'integrale $[20,30]$ possiamo
sostituire e abbiamo
$int_20^30 ||ln(x-5)|-1| dx=int_20^30 ln(x-5)-1$
ora sostituamo $x=y+5$ abbiamo fortunatamente $dx=dy$
$int_20^30 ln(x-5)-1=int_15^25 ln(y)-1 dy= [xln(x)-2x]_15^25 =25ln(25)-15ln(15)-20$
3)In generale per una funzione $|f(x)|$ i punti angolosi si trovano dove $f(x)$ cambia segno o è discontinua (non è sempre così però).
In questo caso trovi che i punti angolosi sono in $x=e+5$ per quanto ho detto nella 2, in $x=5$ poichè $ln(0)$ è impossibile, in
$x=5+1/e$.
4)Il massimo non esiste poichè la funzione logaritmo cresce all'infinito per $x rightarrow infty$. Il minimo esiste. poichè la funzione
è sempre positiva anche il minimo sarà positivo, si verifica facilmente che è 0 e che si ha per $x=5+e$ e per $x=5+1/e$ che tra l'altro
sono punti di angolosi.
6)L'integrale improprio non converge, infatti per $x rightarrow 5$ $|ln(x-5)| righarrow infty$ è ciò e sufficiente a dimostrare che nell'intervallo
$[5,5+1/e]$ la funzione non ha un massimo e quindi l'integrale non può convergere.
7)La serie non converge infatti non soddisfa la condizione necessaria: i moduli dei termini non sono infinitesimi.In più la serie è indeterminata
a causa dei segni alterni.
Il quesito 5 è un pò più complicato, se riesco poi lo guardo.
In bocca al lupo per gli esami!
1) Non è difficile, basta sapere che per disegnare il grafico di una generica funzione $f(x+a)$ basta disegnare il
grafico della funzione $f(x)$ spostato di $a$ verso sinistra rispetto all'origine, e che per disegnare il grafico di
una funzione $|f(x)|$ basta disegnare il grafico della funzione $f(x)$ "specchiando" verso l'alto tutte le parti negative
di questa e lasciando invariate le parti positivi (non è un discorso molto tecnico ma funziona).
2)Altro non è che l'integrale
$int_20^30 f(x) dx=int_20^30 ||ln(x-5)|-1| dx$
per $x>e+5$ abbiamo che $||ln(x-5)|-1|=ln(x-5)-1$, quindi essendo il dominio dell'integrale $[20,30]$ possiamo
sostituire e abbiamo
$int_20^30 ||ln(x-5)|-1| dx=int_20^30 ln(x-5)-1$
ora sostituamo $x=y+5$ abbiamo fortunatamente $dx=dy$
$int_20^30 ln(x-5)-1=int_15^25 ln(y)-1 dy= [xln(x)-2x]_15^25 =25ln(25)-15ln(15)-20$
3)In generale per una funzione $|f(x)|$ i punti angolosi si trovano dove $f(x)$ cambia segno o è discontinua (non è sempre così però).
In questo caso trovi che i punti angolosi sono in $x=e+5$ per quanto ho detto nella 2, in $x=5$ poichè $ln(0)$ è impossibile, in
$x=5+1/e$.
4)Il massimo non esiste poichè la funzione logaritmo cresce all'infinito per $x rightarrow infty$. Il minimo esiste. poichè la funzione
è sempre positiva anche il minimo sarà positivo, si verifica facilmente che è 0 e che si ha per $x=5+e$ e per $x=5+1/e$ che tra l'altro
sono punti di angolosi.
6)L'integrale improprio non converge, infatti per $x rightarrow 5$ $|ln(x-5)| righarrow infty$ è ciò e sufficiente a dimostrare che nell'intervallo
$[5,5+1/e]$ la funzione non ha un massimo e quindi l'integrale non può convergere.
7)La serie non converge infatti non soddisfa la condizione necessaria: i moduli dei termini non sono infinitesimi.In più la serie è indeterminata
a causa dei segni alterni.
Il quesito 5 è un pò più complicato, se riesco poi lo guardo.
In bocca al lupo per gli esami!
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