[Analisi 1 Ing] Punti di non derivabilità - Problemi vari
Ciao a tutti,
sono nuovo e mi scuso in anticipo per quelle che possono sembrare domande banali.
ho un problema con questo esercizio:
Trovare i punti di non derivabilità di:
Ho questi problemi (non riesco a risolvere l'es neanche con la speigazione guidata):
1) Come faccio a capire che la funzione è pari?
2) Per trovare i punti di non derivabilità, sapendo che modulo e radice di modulo sono non derivabili in 0, ho trovato 1 e -1 come punti da controllare ma, una volta fatta la derivata sinistra e destra, mi vengono uguali (quindi nessun punto di non derivabilità, mentre sono sicuro che sia -1 che 1 sono punti di non derivabilità), per cui vorrei, se possibile, una spiegazione passo passo di come fare le due derivate. Io le ho fatte facendo il limite del rapporto incrementale con x-> 1+ e 1-.
Grazie in anticipo.
sono nuovo e mi scuso in anticipo per quelle che possono sembrare domande banali.
ho un problema con questo esercizio:
Trovare i punti di non derivabilità di:
Ho questi problemi (non riesco a risolvere l'es neanche con la speigazione guidata):
1) Come faccio a capire che la funzione è pari?
2) Per trovare i punti di non derivabilità, sapendo che modulo e radice di modulo sono non derivabili in 0, ho trovato 1 e -1 come punti da controllare ma, una volta fatta la derivata sinistra e destra, mi vengono uguali (quindi nessun punto di non derivabilità, mentre sono sicuro che sia -1 che 1 sono punti di non derivabilità), per cui vorrei, se possibile, una spiegazione passo passo di come fare le due derivate. Io le ho fatte facendo il limite del rapporto incrementale con x-> 1+ e 1-.
Grazie in anticipo.
Risposte
Se una funzione è pari verifica la seguente relazione $f(x)=f(-x)$
"Giulio89":
Se una funzione è pari verifica la seguente relazione $f(x)=f(-x)$
Grazie per la risposta, la formula che hai citato la consco. Cambio domanda allora: come faccio a verificare che la mia funzione è pari? Ovvero come faccio a dire, guardando il testo che ho scritto sopra, "questa funzione è pari"?
non mi dilungo molto. è chiaro che che il dominio è tutto R.
1) puoi vedere facilmente che la funzione è pari: basta scrivere f(-x) e vedere che è uguale a f(x)
conviene scrivere "esplicitamente" f(0) [data la simmetria, oltre al fatto che ti dà l'intersezione con l'asse y]
2) ovviamente è corretto "dubitare" della derivabilità in -1 e +1
che cosa cambia a sinistra e a destra? non lo si può dare per scontato, quindi conviene scrivere la funzione come se fosse definita per parti, senza modulo.
se l'hai già fatto, posta i tuoi risultati, e facci sapere che cosa non ti convince. altrimenti parti dalle due definizioni della f(x) a sinistra e a destra di 1 ...
ciao.
1) puoi vedere facilmente che la funzione è pari: basta scrivere f(-x) e vedere che è uguale a f(x)
conviene scrivere "esplicitamente" f(0) [data la simmetria, oltre al fatto che ti dà l'intersezione con l'asse y]
2) ovviamente è corretto "dubitare" della derivabilità in -1 e +1
che cosa cambia a sinistra e a destra? non lo si può dare per scontato, quindi conviene scrivere la funzione come se fosse definita per parti, senza modulo.
se l'hai già fatto, posta i tuoi risultati, e facci sapere che cosa non ti convince. altrimenti parti dalle due definizioni della f(x) a sinistra e a destra di 1 ...
ciao.
Nel tuo caso la funzione è sicuramete pari visto che contiene solo potente pari...per i punti di non derivabilità come tu hai detto gli unici possibili sono $x=-1;x=1$...prova a calcolare il limite in questi due punti della derivata e vedi che succede...
Grazie di nuovo ad entrambi. Mi scuso ma sono evidentemente fortemente ignorante e ancora non riesco a capire come iniziare la risoluzione dell'esercizio.
1) Trovandomi di fronte ad un es del genere devo quindi subito verificare che la funzione sia pari in modo da ridurre i possibili punti in cui calcolare la non derivabilità, è esatto?
2) Perché conviene scrivere esplicitamente f(0)? Cosa vuol dire "data la simmetria"?
3) Per risolvere l'eserizio ho deciso, preso atto che la funzione era pari (perché l'ho letto sulla soluzione, adesso ho anche capito il motivo), deciso di calcolare la derivata in 1 da sinistra e da destra. Essendo 1 un valore positivo ho pensato che i due moduli presenti nella funzione potessero essere considerarti solo per il valore positivo (è esatto?). Ho calcolato la derivata destra e la derivata sinistra facendo il limite del rapporto incrementale per x-> 1- e per x-> a 1+. In entrambi i casi il limite mi viene 2 per radice di e, con limite da destra e da sinistra uguali, per cui ho sbagliato, dato che in 1 c'è sicuramente un punto di non derivabilità (l'ho verificato disegnando con la calcolatrice il grafico).
Potreste fornirmi una spiegazione di come si fa a calcolare la derivata destra e sinistra nel mio caso? Io ho fatto semplicemente il rapporto incrementale. Ho sbagliato a togliere il modulo in partenza? Il fatto che 1 sia una valore positivo ai "fini" del modulo non vuol dire nulla?
1) Trovandomi di fronte ad un es del genere devo quindi subito verificare che la funzione sia pari in modo da ridurre i possibili punti in cui calcolare la non derivabilità, è esatto?
2) Perché conviene scrivere esplicitamente f(0)? Cosa vuol dire "data la simmetria"?
3) Per risolvere l'eserizio ho deciso, preso atto che la funzione era pari (perché l'ho letto sulla soluzione, adesso ho anche capito il motivo), deciso di calcolare la derivata in 1 da sinistra e da destra. Essendo 1 un valore positivo ho pensato che i due moduli presenti nella funzione potessero essere considerarti solo per il valore positivo (è esatto?). Ho calcolato la derivata destra e la derivata sinistra facendo il limite del rapporto incrementale per x-> 1- e per x-> a 1+. In entrambi i casi il limite mi viene 2 per radice di e, con limite da destra e da sinistra uguali, per cui ho sbagliato, dato che in 1 c'è sicuramente un punto di non derivabilità (l'ho verificato disegnando con la calcolatrice il grafico).
Potreste fornirmi una spiegazione di come si fa a calcolare la derivata destra e sinistra nel mio caso? Io ho fatto semplicemente il rapporto incrementale. Ho sbagliato a togliere il modulo in partenza? Il fatto che 1 sia una valore positivo ai "fini" del modulo non vuol dire nulla?
la mia precedente risposta è arrivata prima che potessi leggere alcuni messaggi successivi.
scrivere esplicitamente f(-x), sostituendo -x al posto di x nell'espressione analitica della funzione è chiaro?
"scrivere esplicitamente" f(0) in realtà non ha un significato particolare, però trovare il valore numerico di f(0) ti serve:
a) a trovare l'inersezione con l'asse y
b) a trovare il punto iniziale delle due curve simmetriche rispetto all'asse y che costituiscono il grafico della funzione
per quanto riguarda le due derivate, non mi spiego come tu le abbia trovate, visto che parli di positività senza distinguere tra x ed f(x) ... almeno questa è la mia impressione ... non ho capito molto la tua descrizione a parole ...
in base alla tua ultima richiesta mi permetto di invitarti a rivedere quanto ti ho suggerito precedentemente:
devi scrivere le due "funzioni" senza usare il modulo e fare le derivate di entrambe.
ciao.
scrivere esplicitamente f(-x), sostituendo -x al posto di x nell'espressione analitica della funzione è chiaro?
"scrivere esplicitamente" f(0) in realtà non ha un significato particolare, però trovare il valore numerico di f(0) ti serve:
a) a trovare l'inersezione con l'asse y
b) a trovare il punto iniziale delle due curve simmetriche rispetto all'asse y che costituiscono il grafico della funzione
per quanto riguarda le due derivate, non mi spiego come tu le abbia trovate, visto che parli di positività senza distinguere tra x ed f(x) ... almeno questa è la mia impressione ... non ho capito molto la tua descrizione a parole ...
in base alla tua ultima richiesta mi permetto di invitarti a rivedere quanto ti ho suggerito precedentemente:
devi scrivere le due "funzioni" senza usare il modulo e fare le derivate di entrambe.
ciao.
Ti spiego come ho calcolato le derivate passo passo così mi puoi dire dove ho sbagliato:
1) Ho tolto il modulo perché calcolo la derivata in x->1+ e 1-
2) Ho calcolato il limite del rapporto incrementale per x->1+ e per x-> 1- della funzione.
3) Il limite per x->1+ mi viene uguale al limite per x->1-, entrambi mi vengono 2 per radice di e.
Per calcolare i limiti ho fatto questo procedimento (con il limite del rapporto incrementale):
(manca la parte finale in cui pongo il risultato sotto radice). Questo prcedimento mi dà lo stesso risultato sia per x-1+ che per x->1- e non capisco dove ho sbagliato.
1) Ho tolto il modulo perché calcolo la derivata in x->1+ e 1-
2) Ho calcolato il limite del rapporto incrementale per x->1+ e per x-> 1- della funzione.
3) Il limite per x->1+ mi viene uguale al limite per x->1-, entrambi mi vengono 2 per radice di e.
Per calcolare i limiti ho fatto questo procedimento (con il limite del rapporto incrementale):
(manca la parte finale in cui pongo il risultato sotto radice). Questo prcedimento mi dà lo stesso risultato sia per x-1+ che per x->1- e non capisco dove ho sbagliato.
Non penso che la simmetria della funzione sia indispensabile.Cmq un possibile schema per lindividuare i punti di non derivabilità è questo:
$1)$ Determinare il dominio della funzione $f(x)$ (in caso di funzioni contenenti moduli conviene dividere la funzione in più piani)
$2)$ Calcolare la derivata della fuzione $f(x)$ e determinarne il dominio
$3)$ Confrontare i domini delle due funzioni e individuare i punti in cui $f(x)$ è continua ma $f'(x)$ no.Quest'ultimi sono i famosi punti di non derivabilità.
$4)$ Si calcola il limite della derivata in quei punti determinando così il genere di punto di non derivabilità (punto angoloso,flesso a tangente verticale,cuspide..)
Spero di essere stato d'aiuto.Questo ovviamente è uno schema generale che può essere modificato a seconda dei casi..
$1)$ Determinare il dominio della funzione $f(x)$ (in caso di funzioni contenenti moduli conviene dividere la funzione in più piani)
$2)$ Calcolare la derivata della fuzione $f(x)$ e determinarne il dominio
$3)$ Confrontare i domini delle due funzioni e individuare i punti in cui $f(x)$ è continua ma $f'(x)$ no.Quest'ultimi sono i famosi punti di non derivabilità.
$4)$ Si calcola il limite della derivata in quei punti determinando così il genere di punto di non derivabilità (punto angoloso,flesso a tangente verticale,cuspide..)
Spero di essere stato d'aiuto.Questo ovviamente è uno schema generale che può essere modificato a seconda dei casi..
non ho ultimato i calcoli, e non capisco come tu possa aver fatto sparire le radici ...
comunque ti dico che giustamente, se le derivate destra e sinistra esistono, allora sono uguali, perché le due espressioni con modulo assumono lo stesso segno nell'intorno di 1. quindi è vero che la funzione dovrebbe essere derivabile... anche se non sono in grado di dire, così ad occhio, che siano giusti i tuoi calcoli.
a più tardi. ora devo andare. ciao.
comunque ti dico che giustamente, se le derivate destra e sinistra esistono, allora sono uguali, perché le due espressioni con modulo assumono lo stesso segno nell'intorno di 1. quindi è vero che la funzione dovrebbe essere derivabile... anche se non sono in grado di dire, così ad occhio, che siano giusti i tuoi calcoli.
a più tardi. ora devo andare. ciao.
Grazie ad entrambi per le risposte di nuovo.
Sto cercando di rifare questo ed altri esercizi in modo da chiarire i miei dubbi, le vostre spiegazioni sono sicuramente state d'aiuto.
Sto cercando di rifare questo ed altri esercizi in modo da chiarire i miei dubbi, le vostre spiegazioni sono sicuramente state d'aiuto.
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