[analisi 1] domande su continuità, derivabilità ecc.
Domanda: Sia $f: R -> R$ una funzione derivabile per $x !=0$ tale che $ lim_(x -> 0)f'(x)=+oo $ .
E' vero o falso che f è crescente in un intorno di 0?
Io avrei risposto "è vero, perché se $ lim_(x -> 0)f'(x)=+oo $ allora $ AA M>0 EE\delta$ tale che $|x-0|<\delta->|f'(x)|>M $
e quindi esiste un intorno di 0 in cui la derivata prima è positiva..."
... ma la risposta è falso! Perché?
Ho pensato che la ragione potrebbe essere legata all'invertibilità dell'implicazione "funzione crescente $->$ derivata positiva" (è invertibile?). Qui ho una derivata prima positiva in un intorno di 0: questo non implica che è crescente in quell'intorno?
E' vero o falso che f è crescente in un intorno di 0?
Io avrei risposto "è vero, perché se $ lim_(x -> 0)f'(x)=+oo $ allora $ AA M>0 EE\delta$ tale che $|x-0|<\delta->|f'(x)|>M $
e quindi esiste un intorno di 0 in cui la derivata prima è positiva..."
... ma la risposta è falso! Perché?
Ho pensato che la ragione potrebbe essere legata all'invertibilità dell'implicazione "funzione crescente $->$ derivata positiva" (è invertibile?). Qui ho una derivata prima positiva in un intorno di 0: questo non implica che è crescente in quell'intorno?
Risposte
Considera, ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
-1/x, &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x = 0.
\end{cases}
\]
Il tuo ragionamento funzionerebbe con l'ulteriore ipotesi di continuità della funzione.
\[
f(x) = \begin{cases}
-1/x, &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x = 0.
\end{cases}
\]
Il tuo ragionamento funzionerebbe con l'ulteriore ipotesi di continuità della funzione.
Giusto!!! Grazie Rigel.
In un esercizio si è ricavato che, se $f: R -> R$ è derivabile e convessa, e tale che $ lim_(x -> +-oo)f(x)=+oo $, allora f possiede almeno un punto di minimo, ma potrebbe averne molti.
Mi chiedo: se l'ipotesi fosse che $f: R -> R$ è continua e tale che $ lim_(x -> +-oo)f(x)=+oo $, varrebbe lo stesso che " f possiede almeno un punto di minimo, ma potrebbe averne molti"?
Se sia il limite a $-oo$ che quello a $+ oo$ è $+ oo$, si può affermare che esistono $x, x_0$ tali che $f(x) = f(x_0)$, per poter così applicare il teorema di Rolle?
Mi chiedo: se l'ipotesi fosse che $f: R -> R$ è continua e tale che $ lim_(x -> +-oo)f(x)=+oo $, varrebbe lo stesso che " f possiede almeno un punto di minimo, ma potrebbe averne molti"?
Se sia il limite a $-oo$ che quello a $+ oo$ è $+ oo$, si può affermare che esistono $x, x_0$ tali che $f(x) = f(x_0)$, per poter così applicare il teorema di Rolle?
"jitter":
se l'ipotesi fosse che $f: R -> R$ è continua e tale che $ lim_(x -> +-oo)f(x)=+oo $, varrebbe lo stesso che " f possiede almeno un punto di minimo, ma potrebbe averne molti"?
Sì.
Fissa un punto qualsiasi \(x_0\). Per le ipotesi sui limiti esistono \(a, b\), con \(a < x_0 < b\), tali che
\[
f(x) > f(x_0) \qquad \forall x\leq a, \ \forall x \geq b.
\]
Poiché \(f\) è continua in \([a,b]\), per il teorema di Weierstrass ammette un punto \(x_1\in [a,b]\) di minimo assoluto in \([a,b]\). D'altra parte
\[ f(x_1) \leq f(x_0) < f(x) \qquad \forall x\leq a, \ \forall x \geq b,
\]
quindi il punto \(x_1\) è di minimo assoluto per \(f\) su tutto \(\mathbb{R}\).
Se sia il limite a $-oo$ che quello a $+ oo$ è $+ oo$, si può affermare che esistono $x, x_0$ tali che $f(x) = f(x_0)$, per poter così applicare il teorema di Rolle?
Non è il teorema di Rolle che devi applicare, ma quello di Weierstrass.
Non ci sarei arrivata da sola, ora è tutto chiaro: grazie ancora!
"Rigel":
Considera, ad esempio, la funzione
\[ f(x) = \begin{cases} -1/x, &\text{se}\ x\neq 0,\\ 0, &\text{se}\ x = 0. \end{cases} \]
Il tuo ragionamento funzionerebbe con l'ulteriore ipotesi di continuità della funzione.
Ricapitolando:
Proposizione 1
Se una funzione è derivabile in un intervallo [a, b] e se $f'(x_0) >=0$ per ogni punto dell'intervallo, allora la funzione è crescente nell'intervallo.
Tale affermazione può essere un corollario del teorema di Lagrange (A), oppure può seguire dalla permanenza del segno (B).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
(A) Siano $x_1$ e $x_2$ due punti qualsiasi dell'intervallo, con $x_1$ < $x_2$.
Per il teorema di Lagrange esiste un punto $c$ tale che $f'(x) = (f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2)$. Ma per ipotesi $f'(c) > 0$, da cui $(f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2) > 0$, che esprime la crescenza di $f(x)$.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
(B) Sia $x_0$ un qualsiasi punto dell'intervallo.
Per ipotesi la funzione è derivabile (anche) in $x_0$, cioè esiste finito $ lim_(x -> x_o) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)= l \in R, l >0 $. Per la permanenza del segno, esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione ha lo stesso valore del limite, cioè esiste un intorno di $x_0$ in cui $ (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) > 0$, che esprime la crescenza.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ora, la conclusione della proposizione 1 (= la crescenza di f(x)) è valida anche con ipotesi un pochino più deboli, cioè queste:
proposizione 2 :
Se f(x) è una funzione derivabile in un intorno di $x_0$ (escluso eventualmente $x_0$, come nell'esempio di Rigel), e continua in $x_0$, allora è crescente nell'intorno.
Per dimostrare la proposizione 2, il ragionamento (B) non si può applicare, perché assume finito il limite del rapporto incrementale $ lim_(x -> x_o) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)= l \in R$, quindi assume che la funzione sia derivabile anche in $x_0$. Invece il ragionamento (B) dice $(f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2) > 0$: se intendiamo che questo rapporto potrebbe essere anche infinito, allora la (B) può valere anche come dimostrazione per la proposizione B.
"jitter":
Proposizione 1
Se una funzione è derivabile in un intervallo [a, b] e se $f'(x_0) >=0$ per ogni punto dell'intervallo, allora la funzione è crescente nell'intervallo.
Tale affermazione può essere un corollario del teorema di Lagrange (A), oppure può seguire dalla permanenza del segno (B).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
(A) Siano $x_1$ e $x_2$ due punti qualsiasi dell'intervallo, con $x_1$ < $x_2$.
Per il teorema di Lagrange esiste un punto $c$ tale che $f'(x) = (f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2)$. Ma per ipotesi $f'(c) > 0$, da cui $(f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2) > 0$, che esprime la crescenza di $f(x)$.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
(B) Sia $x_0$ un qualsiasi punto dell'intervallo.
Per ipotesi la funzione è derivabile (anche) in $x_0$, cioè esiste finito $ lim_(x -> x_o) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)= l \in R, l >0 $. Per la permanenza del segno, esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione ha lo stesso valore del limite, cioè esiste un intorno di $x_0$ in cui $ (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) > 0$, che esprime la crescenza.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
La dimostrazione (A) è corretta (a meno di qualche \(>\) che dovrebbe essere \(\geq\)).
La dimostrazione (B) non va bene, in quanto dimostri solo che \((f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) > 0\) (tra l'altro assumendo la derivata strettamente positiva).
Considera, ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
2x^2 \sin(1/x) + x, &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
Si verifica immediatamente (con la definizione) che \(f'(0) = 1\); tuttavia, la funzione non è crescente in nessun intorno dell'origine.
Ora, la conclusione della proposizione 1 (= la crescenza di f(x)) è valida anche con ipotesi un pochino più deboli, cioè queste:
proposizione 2 :
Se f(x) è una funzione derivabile in un intorno di $x_0$ (escluso eventualmente $x_0$, come nell'esempio di Rigel), e continua in $x_0$, allora è crescente nell'intorno.
Ovviamente fra le ipotesi ci sarà anche \(f'(x) \geq 0\) nei punti dove \(f\) è derivabile.
Se, ad esempio, \(f\) è continua in \((a,b)\), derivabile per ogni \(x\neq x_0\in (a,b)\), con derivata \(\geq 0\) dove è definita, dalla prima proposizione hai che \(f\) è separatamente monotona crescente in \((a, x_0]\) e \([x_0, b)\), dunque lo è su tutto \((a,b)\). In pratica, usi la continuità per includere in entrambi gli intervalli anche l'estremo \(x_0\).
(P.S.: io chiamo crescenti le funzioni che in alcuni testi vengono chiamate monotone non decrescenti.)
Scusami, nella proposizione 2 ho dimenticato di mettere tra le ipotesi la più importante: $f'(x) >= 0$, come specifichi tu più sotto.
Ma la disuguaglianza $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0 $ non equivale alla crescenza della funzione? (perché $x > x_0$ e $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0$ solo se $f(x) > f(x_0)$...)
Qui la derivata prima in $x!= x_0$, $f'(x) = 4x sin (1/x) - 2cos(1/x) +1$ non mi risulta però $> = 0$: sbaglio qualcosa?
"Rigel":
La dimostrazione (B) non va bene, in quanto dimostri solo che \((f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) > 0\) (tra l'altro assumendo la derivata strettamente positiva).
Ma la disuguaglianza $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0 $ non equivale alla crescenza della funzione? (perché $x > x_0$ e $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0$ solo se $f(x) > f(x_0)$...)
Considera, ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
2x^2 \sin(1/x) + x, &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
Si verifica immediatamente (con la definizione) che \(f'(0) = 1\); tuttavia, la funzione non è crescente in nessun intorno dell'origine.
Qui la derivata prima in $x!= x_0$, $f'(x) = 4x sin (1/x) - 2cos(1/x) +1$ non mi risulta però $> = 0$: sbaglio qualcosa?
"jitter":
Ma la disuguaglianza $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0 $ non equivale alla crescenza della funzione? (perché $x > x_0$ e $(f(x) - f(x_0)) / (x-x_0) >= 0$ solo se $f(x) > f(x_0)$...)
No; dimostri solo che \(f(x) > f(x_0)\) se \(x > x_0\) e \(f(x) < f(x_0)\) se \(x < x_0\), ma \(x_0\) è fissato.
[quote]
Considera, ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
2x^2 \sin(1/x) + x, &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
Si verifica immediatamente (con la definizione) che \(f'(0) = 1\); tuttavia, la funzione non è crescente in nessun intorno dell'origine.
Qui la derivata prima in $x!= x_0$, $f'(x) = 4x sin (1/x) - 2cos(1/x) +1$ non mi risulta però $> = 0$: sbaglio qualcosa?[/quote]
No, non sbagli. L'esempio serve a vedere che il fatto di avere \(f'(0) > 0\) non significa che esiste un intorno di \(0\) dove la funzione è crescente (dunque necessariamente la derivata deve cambiare di segno).
"Rigel":
No; dimostri solo che \( f(x) > f(x_0) \) se \( x > x_0 \) e \( f(x) < f(x_0) \) se \( x < x_0 \), ma \( x_0 \) è fissato.
Ma essendo $x_0$ un punto qualsiasi dell'intervallo, ciò non garantisce la generalità?
"jitter":
[quote="Rigel"]
No; dimostri solo che \( f(x) > f(x_0) \) se \( x > x_0 \) e \( f(x) < f(x_0) \) se \( x < x_0 \), ma \( x_0 \) è fissato.
Ma essendo $x_0$ un punto qualsiasi dell'intervallo, ciò non garantisce la generalità?[/quote]
A priori no, perché per ogni \(x_0\) hai un intorno (di ampiezza ignota) dove vale la disuguaglianza citata.
Per confrontare i valori di \(f\) in due punti \(x_1\) e \(x_2\) generici avresti bisogno o di avere l'intorno di \(x_1\) che contiene \(x_2\) o viceversa; ma questo non è garantito dall'argomento usato in questa dimostrazione.
Ciao Rigel, scusami se rispondo solo ora. Ci ho pensato un po' e non sono ancora convinta... provo a riprendere il ragionamento (non ammazzarmi, è solo per capire):
0) supponiamo $f'(x) > 0$ in un certo intervallo
1) con la permanenza del segno abbiamo dimostrato che un punto "qualsiasi" $x_0$ dell'intervallo ha un intorno in cui vale la disuguaglianza $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) > 0$. In quell'intorno, per gli $x < x_0$ si ha $f(x_0) < f(x_0)$, mentre per gli $x > x_0$ si ha $f(x_0) > f(x_0)$. Quindi $f(x)$ è crescente in $x_0$
2) ma lo stesso ragionamento lo posso fare per qualsiasi punto dell'intervallo, avendo supposto $f'(x) > 0$ per tutto l'intervallo
3) Allora la funzione è crescente in tutto l'intervallo
non riesco a capire cosa c'è di sbagliato](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ma la crescenza non è definita nel punto? Cioè, una volta che so che esiste un intorno in cui vale la disuguaglianza, questo non significa "funzione crescente nel punto"?
Qui non mi è chiara la necessità di confrontare direttamente $x_1$ e $x_2$ attraverso la dimostrazione fatta. Se io ripeto per $x_1$ e per $x_2$ ragionamento fatto per $x_0$, ottengo che la funzione è crescente in $x_1$ e crescente in $x_2$, e quindi posso "confrontare" $f(x_1)$ e $f(x_2)$...
Cfr qui: http://math.ec.unipi.it/generale/Lucidi ... derivE.pdf (dove però c'è uno schema, magari cerco meglio se trovo qualcosa di meglio)
0) supponiamo $f'(x) > 0$ in un certo intervallo
1) con la permanenza del segno abbiamo dimostrato che un punto "qualsiasi" $x_0$ dell'intervallo ha un intorno in cui vale la disuguaglianza $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) > 0$. In quell'intorno, per gli $x < x_0$ si ha $f(x_0) < f(x_0)$, mentre per gli $x > x_0$ si ha $f(x_0) > f(x_0)$. Quindi $f(x)$ è crescente in $x_0$
2) ma lo stesso ragionamento lo posso fare per qualsiasi punto dell'intervallo, avendo supposto $f'(x) > 0$ per tutto l'intervallo
3) Allora la funzione è crescente in tutto l'intervallo
non riesco a capire cosa c'è di sbagliato
"Rigel":
A priori no, perché per ogni \(x_0\) hai un intorno (di ampiezza ignota) dove vale la disuguaglianza citata.
Ma la crescenza non è definita nel punto? Cioè, una volta che so che esiste un intorno in cui vale la disuguaglianza, questo non significa "funzione crescente nel punto"?
"Rigel":
Per confrontare i valori di \(f\) in due punti \(x_1\) e \(x_2\) generici avresti bisogno o di avere l'intorno di \(x_1\) che contiene \(x_2\) o viceversa; ma questo non è garantito dall'argomento usato in questa dimostrazione.
Qui non mi è chiara la necessità di confrontare direttamente $x_1$ e $x_2$ attraverso la dimostrazione fatta. Se io ripeto per $x_1$ e per $x_2$ ragionamento fatto per $x_0$, ottengo che la funzione è crescente in $x_1$ e crescente in $x_2$, e quindi posso "confrontare" $f(x_1)$ e $f(x_2)$...
Cfr qui: http://math.ec.unipi.it/generale/Lucidi ... derivE.pdf (dove però c'è uno schema, magari cerco meglio se trovo qualcosa di meglio)
"jitter":
Cfr qui: http://math.ec.unipi.it/generale/Lucidi ... derivE.pdf (dove però c'è uno schema, magari cerco meglio se trovo qualcosa di meglio)
La crescenza in un punto (come definita nei lucidi) non è la stessa cosa della crescenza in un intervallo, come ti ho mostrato nel primo esempio postato.
Se vuoi dimostrare che una funzione \(f\) è crescente in un intevallo \(I\), devi dimostrare che per ogni coppia di punti \(x_1, x_2\in I\), con \(x_1 < x_2\), si ha \(f(x_1) \leq f(x_2)\). Devi quindi poter confrontare i valori di \(f\) in due generici punti \(x_1\) e \(x_2\).
"Rigel":
La crescenza in un punto (come definita nei lucidi) non è la stessa cosa della crescenza in un intervallo
Ah, forse è qui allora che mi confondevo, perché pensavo "crescenza in un punto = crescenza in tutti i punti dell'intervallo".
Se vuoi dimostrare che una funzione \(f\) è crescente in un intevallo \(I\), devi dimostrare che per ogni coppia di punti \(x_1, x_2\in I\), con \(x_1 < x_2\), si ha \(f(x_1) \leq f(x_2)\). Devi quindi poter confrontare i valori di \(f\) in due generici punti \(x_1\) e \(x_2\).
Ora comincia a essermi più chiaro, grazie ancora Rigel
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