Analisi 1
Ciao a tutti, non riesco a calcolare il limite della successione an definita per ricorrenza:
a1=-1 an+1= 4an/(|senan|+1)
e possibile che sia - infinito?
grazie a chiunque riuscisse a darmi una mano!
ciao
a1=-1 an+1= 4an/(|senan|+1)
e possibile che sia - infinito?
grazie a chiunque riuscisse a darmi una mano!
ciao
Risposte
Prova a disegnare la funzione $f(x)=(4x) / (|senx|+1)$, e interseca il grafico di $f$ con la retta $y=x$; il punto di intersezione se tutto "gira bene" dovrebbe essere il limite della successione.
grazie per la risp ma, non e possibile risolverlo in altro modo?non ho ben capito perche devo intersecarla con la retta y=x
E' uno schema iterativo classico; se tu disegni $f$ e la retta $y=x$, e parti da $x=-1$ costruisci una iterazione: prima vai sul grafico di $f$, poi torni sulla bisettrice poi di nuovo sul grafico di $f$ e così via di volta in volta usando segmenti paralleli agli assi. Se tutto funziona bene tale specie di "spirale" dovrebbe andare verso l'intersezione tra i due grafici.
Infatti un disegno fatto bene ti mostra subito che la successione è monotona crescente e tende a $0$.
Infatti un disegno fatto bene ti mostra subito che la successione è monotona crescente e tende a $0$.
Ok, ho fatto i due grafici e ho trovato l intersezione in zero, ma continuo a non capire due cose: 1)se esiste un altro modo di risolvere tale limite e 2) non mi e chiarissima la logica del procedimento dell intersezione dei 2 grafici.
Mi avevano insegnato che per calcolare il limite delle successioni per ricorrenza si puo sostituire x ad an+1 e x ad an tale che x=4x/(|senx|+1) e poi, risolvendo l equazione ripsetto x si trova il valore del limite. In questo caso si puo fare un tale ragionamento?verrebbe x=|arcsin3| che non esiste..
Come ultima cosa e corretto: a2=-4 a3=-16?
e parecchio tempo che non prendo piu in mano queste cose quindi perdonatemi se dico grosse fesserie....
Mi avevano insegnato che per calcolare il limite delle successioni per ricorrenza si puo sostituire x ad an+1 e x ad an tale che x=4x/(|senx|+1) e poi, risolvendo l equazione ripsetto x si trova il valore del limite. In questo caso si puo fare un tale ragionamento?verrebbe x=|arcsin3| che non esiste..
Come ultima cosa e corretto: a2=-4 a3=-16?
e parecchio tempo che non prendo piu in mano queste cose quindi perdonatemi se dico grosse fesserie....
"richard84":
Mi avevano insegnato che per calcolare il limite delle successioni per ricorrenza si puo sostituire x ad an+1 e x ad an tale che x=4x/(|senx|+1) e poi, risolvendo l equazione ripsetto x si trova il valore del limite.
Si equivale a fare l'intersezione come ha detto Luca.
Cmq, l'unica soluzione per $f(x)=x$ (dove $f(x)=4x/(1+|sin x|)$) è $x=0$. Quindi, se la successione $a_n$ converge, allora converge a $0$.
In questo caso, però, la successione non converge. Scegli prima di tutto un insieme $f-$invariante che contiene il dato iniziale ossia un sottoinsieme $I$ di $RR$ tale che $f(I)\subseteq I$ e $a_1\in I$. In questo caso puoi scegliere $I=(-oo,0]$. Infatti il segno di $f$ è uguale al segno di $x$ (denominatore sempre positivo). Ora osserva che per $x\le 0$ è
$f(x)\le (4x)/2=2x$ da cui deduci che $a_n\le -2^n$ ossia $a_n\to -oo$.
EDIT: corretto errore ortografico.
cosa s intentde cn la scrittura F(I)\subseteqI?
quindi la successione diverge a -00?
quindi la successione diverge a -00?
E' vero, tende a $-\infty$; chiedo scusa, ho iterato male a video sul grafico della funzione.
"richard84":
cosa s intentde cn la scrittura F(I)\subseteqI?
Significa che $f$ manda i punti dell'intervallo $I$ in punti dell'intervallo $I$. E' un modo per garantire che $a_n\in I$ per ogni $n$.
"ficus2002":
[quote="richard84"]cosa s intentde cn la scrittura F(I)\subseteqI?
Significa che $f$ manda i punti dell'intervallo $I$ in punti dell'intervallo $I$. E' un modo per garantire che $a_n\in I$ per ogni $n$.[/quote]
Tutto questo se e solo se il proprio browser permette di leggere le formule in MathML.
Richard84, consulta questo thread per vedere correttamente le formule.
grazie eredir per il tuo consiglio....
non mi sono chiari gli ultimi passaggi, da x=0 quindi f(x)=4x/2=2x da cui si deduce an=-2^n.
Per x=0 non e f(x)=0?
non mi sono chiari gli ultimi passaggi, da x=0 quindi f(x)=4x/2=2x da cui si deduce an=-2^n.
Per x=0 non e f(x)=0?
"richard84":
non mi sono chiari gli ultimi passaggi, da x=0 quindi f(x)=4x/2=2x da cui si deduce an=-2^n.
No, non è $a_n=-2^n$ ma $a_n\le -2^n$; la disuguaglianza la puoi provare per induzione su $n$:
$n=0$: $a_0=-1\leq -2^0$ vero,
se $a_n\le -2^n$ allora $a_{n+1}=f(a_n)\le 2*a_n\le -2^{n+1}$.
Grazie a tutti ragazzi....non riesco mai a capire se basta dire grazie, mi sembra sempre troppo poco.
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Ciao!
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