Analisi 1
1)
si dica se 4log(x)0 giustificando adeguatamente la risposta
2)
si trovino tutte le soluzioni reali dell'equazione x=log(x+1), giustificando risp
3)
si calcoli l'equazione della retta tangente in (1,1) alla curva di equazione 3x^2-x^2+3xy=5
4)
si dica quante soluzioni ha l'equazione e^(cos x)+9x=0
5)
studiare al variare di x reale, la convergenza della serie:
sommatoria per n=1-->inf di (-1)^(n+1)*(log n)/(n^3+3)*(5x+6)^3n
si dica se 4log(x)
2)
si trovino tutte le soluzioni reali dell'equazione x=log(x+1), giustificando risp
3)
si calcoli l'equazione della retta tangente in (1,1) alla curva di equazione 3x^2-x^2+3xy=5
4)
si dica quante soluzioni ha l'equazione e^(cos x)+9x=0
5)
studiare al variare di x reale, la convergenza della serie:
sommatoria per n=1-->inf di (-1)^(n+1)*(log n)/(n^3+3)*(5x+6)^3n
Risposte
1)Se si "graficizza"sia 4ln(x) che x+4,per es.tramite Derive
si vede che per x>0 il primo grafico e' costantemente sotto
il secondo e cio' prova l'assunto.
Per una verifica analitica si puo',secondo me,agire cosi':
studiamo la funzione y=4lnx-x-4 (presumo che log stia per ln).
Si trova che:
lim(y,x-->0+)=-inf;lim(y,x-->+inf)=-inf;
y'=(4-x)/x;y''=-4/(x)^2.Ne segue che la y ha per x=4
un massimo assoluto =4ln(4)-8<0.Dunque e' certamente 4ln(x)0.
2)Una soluzione evidente e' x=0;per dimostrare che essa e'
unica e' sufficiente,sempre secondo me,studiare la funzione
y=x-ln(x+1) per x>-1.Si trovera' che la y per x=0
presenta un minimo assoluto =0.Dunque non vi sono altre soluzioni
dell'equazione data.
3)Suppongo che la curva sia 3x^2-y^2+3xy=5.
Derivando rispetto ad x ( considerando la y come
funzione di x) risulta:
6x-2yy'+3y+3xy'=0 e sostituendo x=1,y=1:
6-2y'+3+3y'=0 --->y'=-9.
Dunque l'equazione della tangente e':
y-1)=-9(x-1) ecc.
4)e^(cosx)=-9x.per x>=0 il primo membro e'>0
ed il secondo membro<=0 e cio' rende l'eguaglianza
impossibile;percio' si hanno soluzioni solo per
x<0.
Passando ai logaritmi,risulta per x<0:
cos(x)=ln(-9x)
percio' deve essere ln(-9x)>=-1 da cui x<=-1/(9e)
ed anche ln(-9x)<=1 da cui x>=-e/9
Percio' si hanno soluzioni solo per -e/9<=x<=-1/(9e).
D'altra parte se si considera la funzione
y=cos(x)-ln(-9x) si ha: y'=-sin(x)-1/x ;poiche' questa derivata
per x<0 e' positiva ,la y risulta sempre crescente e dunque
v'e' una sola soluzione in [-e/9,-1/(9e)].
5)Il limite per n-->+inf del rapporto abs((An+1/An))
e' abs((5x+6)^3) .Ponendo tale rapporto <1 si ottiene 'intervallo di convergenza.
Si trova che tale intervallo e']-7/6,-1[.
Lascio a te il compito di verificare la convergenza o meno in
x=-7/6 o x=-1.
Salvo errori da parte mia.
karl.
Modificato da - karl il 18/12/2003 21:29:44
si vede che per x>0 il primo grafico e' costantemente sotto
il secondo e cio' prova l'assunto.
Per una verifica analitica si puo',secondo me,agire cosi':
studiamo la funzione y=4lnx-x-4 (presumo che log stia per ln).
Si trova che:
lim(y,x-->0+)=-inf;lim(y,x-->+inf)=-inf;
y'=(4-x)/x;y''=-4/(x)^2.Ne segue che la y ha per x=4
un massimo assoluto =4ln(4)-8<0.Dunque e' certamente 4ln(x)
2)Una soluzione evidente e' x=0;per dimostrare che essa e'
unica e' sufficiente,sempre secondo me,studiare la funzione
y=x-ln(x+1) per x>-1.Si trovera' che la y per x=0
presenta un minimo assoluto =0.Dunque non vi sono altre soluzioni
dell'equazione data.
3)Suppongo che la curva sia 3x^2-y^2+3xy=5.
Derivando rispetto ad x ( considerando la y come
funzione di x) risulta:
6x-2yy'+3y+3xy'=0 e sostituendo x=1,y=1:
6-2y'+3+3y'=0 --->y'=-9.
Dunque l'equazione della tangente e':
y-1)=-9(x-1) ecc.
4)e^(cosx)=-9x.per x>=0 il primo membro e'>0
ed il secondo membro<=0 e cio' rende l'eguaglianza
impossibile;percio' si hanno soluzioni solo per
x<0.
Passando ai logaritmi,risulta per x<0:
cos(x)=ln(-9x)
percio' deve essere ln(-9x)>=-1 da cui x<=-1/(9e)
ed anche ln(-9x)<=1 da cui x>=-e/9
Percio' si hanno soluzioni solo per -e/9<=x<=-1/(9e).
D'altra parte se si considera la funzione
y=cos(x)-ln(-9x) si ha: y'=-sin(x)-1/x ;poiche' questa derivata
per x<0 e' positiva ,la y risulta sempre crescente e dunque
v'e' una sola soluzione in [-e/9,-1/(9e)].
5)Il limite per n-->+inf del rapporto abs((An+1/An))
e' abs((5x+6)^3) .Ponendo tale rapporto <1 si ottiene 'intervallo di convergenza.
Si trova che tale intervallo e']-7/6,-1[.
Lascio a te il compito di verificare la convergenza o meno in
x=-7/6 o x=-1.
Salvo errori da parte mia.
karl.
Modificato da - karl il 18/12/2003 21:29:44
Ecco le soluzioni dei primi 4 problemi : quella del quinto la lascio ad altri volonterosi.
1) 4 log x < x+4 : si dica se è vera per ogni x > 0 ; risposta : sì.
Si considerino le 2 funzioni : y1= 4log x e : y2 = x+4
si valuti se ( per x > 0 ) è sempre : y1 < y2 .
Y1 è una curva logaritmica , tendente a –inf per x che tende a 0 e che vale : 0 per x=1 e che poi cresce lentamente a + inf per x che tende a + inf.
Y2 è invece una retta che vale 4 per x= 0 ; per x= 1 vale : 5 e poi tende pure all’inf per x che tende a + inf ma con una pendenza ben maggiore che log(x+1) .pertanto le due curve non si incontrano mai ed è sempre : y1 < y2 , come si vede bene se si fa il grafico delle due curve.
2) si trovino tutte le soluzioni reali dell’equazione : x= log( x+1)
risposta : una sola soluzione : x= 0.
Ovviamente va considerato x > -1 per l’esistenza del logaritmo.
Pongo : y1 = x e y2 = log ( x+1) ; devo vedere quando : y2 = y1 .
Disegnando sullo stesso grafico le due funzioni , la prima bisettrice del I e III quadrante , e la seconda invece la classica funzione logaritmica : è facile vedere che si intersecano per x= 0 , che pertanto è soluzione dell’equazione iniziale.
Poiché la curva y=x ha pendenza maggiore di y= log(x+1), per x > 0 le due curve non si intersecano più ed è sempre : x > log(x+1) ( per x > 0 ).
Invece per –1 < x < 0 la funzione log ( x+1) ha pendenza maggiore e tende a –inf per x che tende a –1 ed è sempre : x > log(x+1) ; quindi le due curve non si intersecano se non per x =0 , che è pertanto l’unica soluzione dell’equazione.
3) Calcolare l’equazione della retta tangente in ( 1,1) alla curva di equazione :
3x^2-x^2 +3xy = 5 causa la presenza dei due termini in x^2, ritengo ci sia un errore ed ipotizzo che la equazione corretta sia :
3x^2- L’equazione del fascio di rette passanti per ( 1,1) è : y – 1 = m( x – 1), essendo m il valore della derivata della funzione y = y(x ) nel punto ( 1,1 ) .
Però la funzione : y= y(x) è data in forma implicita per cui nel derivare rispetto ad x , si dovrà considerare che y è funzione di x : bisognerà applicare le regole di derivazione delle funzioni composte.
Derivando la equazione sopra indicata si ottiene :
6x –2 y y‘ +3y +3xy ‘ = 0 da cui :
(2y –3x) y’ = 6x+3y e quindi :
y ‘ = (6x+3y) / (2y-3x) che valutata nel punto : x=1 , y= 1 vale : -9 .
L’equazione della retta tangente è quindi :
y - 1 = -9 ( x-1) che diventa : 9x + y –10 = 0.
4) Si dica quante soluzioni ha l’equazione : e^ ( cos x ) +9x= 0.
Risposta : 1 sola .
Riscrivo l’equazione così : e^(cos x) = -9 x.
Pongo : y1 = e^(cos x) ; y2 = -9x.
Y1 è chiaramente una funzione periodica , di periodo 2 pi , sempre positiva e poiché cos x varia tra –1 e +1 , allora y1 varierà tra : 1/e ( = minimo) e il numero : e (= massimo) .
Y2 invece è una retta passante per l’origine e situata nel II e IV quadrante .
Se si costruisce il grafico delle due funzioni è evidente che si incontreranno in un solo punto x0, di ascissa negativa , che è pertanto l’unica soluzione .
Camillo
1) 4 log x < x+4 : si dica se è vera per ogni x > 0 ; risposta : sì.
Si considerino le 2 funzioni : y1= 4log x e : y2 = x+4
si valuti se ( per x > 0 ) è sempre : y1 < y2 .
Y1 è una curva logaritmica , tendente a –inf per x che tende a 0 e che vale : 0 per x=1 e che poi cresce lentamente a + inf per x che tende a + inf.
Y2 è invece una retta che vale 4 per x= 0 ; per x= 1 vale : 5 e poi tende pure all’inf per x che tende a + inf ma con una pendenza ben maggiore che log(x+1) .pertanto le due curve non si incontrano mai ed è sempre : y1 < y2 , come si vede bene se si fa il grafico delle due curve.
2) si trovino tutte le soluzioni reali dell’equazione : x= log( x+1)
risposta : una sola soluzione : x= 0.
Ovviamente va considerato x > -1 per l’esistenza del logaritmo.
Pongo : y1 = x e y2 = log ( x+1) ; devo vedere quando : y2 = y1 .
Disegnando sullo stesso grafico le due funzioni , la prima bisettrice del I e III quadrante , e la seconda invece la classica funzione logaritmica : è facile vedere che si intersecano per x= 0 , che pertanto è soluzione dell’equazione iniziale.
Poiché la curva y=x ha pendenza maggiore di y= log(x+1), per x > 0 le due curve non si intersecano più ed è sempre : x > log(x+1) ( per x > 0 ).
Invece per –1 < x < 0 la funzione log ( x+1) ha pendenza maggiore e tende a –inf per x che tende a –1 ed è sempre : x > log(x+1) ; quindi le due curve non si intersecano se non per x =0 , che è pertanto l’unica soluzione dell’equazione.
3) Calcolare l’equazione della retta tangente in ( 1,1) alla curva di equazione :
3x^2-x^2 +3xy = 5 causa la presenza dei due termini in x^2, ritengo ci sia un errore ed ipotizzo che la equazione corretta sia :
3x^2- L’equazione del fascio di rette passanti per ( 1,1) è : y – 1 = m( x – 1), essendo m il valore della derivata della funzione y = y(x ) nel punto ( 1,1 ) .
Però la funzione : y= y(x) è data in forma implicita per cui nel derivare rispetto ad x , si dovrà considerare che y è funzione di x : bisognerà applicare le regole di derivazione delle funzioni composte.
Derivando la equazione sopra indicata si ottiene :
6x –2 y y‘ +3y +3xy ‘ = 0 da cui :
(2y –3x) y’ = 6x+3y e quindi :
y ‘ = (6x+3y) / (2y-3x) che valutata nel punto : x=1 , y= 1 vale : -9 .
L’equazione della retta tangente è quindi :
y - 1 = -9 ( x-1) che diventa : 9x + y –10 = 0.
4) Si dica quante soluzioni ha l’equazione : e^ ( cos x ) +9x= 0.
Risposta : 1 sola .
Riscrivo l’equazione così : e^(cos x) = -9 x.
Pongo : y1 = e^(cos x) ; y2 = -9x.
Y1 è chiaramente una funzione periodica , di periodo 2 pi , sempre positiva e poiché cos x varia tra –1 e +1 , allora y1 varierà tra : 1/e ( = minimo) e il numero : e (= massimo) .
Y2 invece è una retta passante per l’origine e situata nel II e IV quadrante .
Se si costruisce il grafico delle due funzioni è evidente che si incontreranno in un solo punto x0, di ascissa negativa , che è pertanto l’unica soluzione .
Camillo
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