[AN2] Calcolo del flusso
Ciao a tutti.
Ci sono alcune situazioni che non riesco a capire come gestire quando si tratta di calcolare il flusso attraverso una superficie. Questi dubbi sorgono soprattutto quando la superficie non mi viene data nella forma $(x,y,g(x,y))$. Per capirci meglio andiamo subito al sodo. Un esercizio che non capisco come impostare è questo:
"Sia E l'intersezione del cilindro $x^2+y^2<=1$ con la palla di centro l'origine e raggio 2. Calcolare il flusso uscente da E del campo vettoriale $F=(xz^2,y^2z^2,xy)$ "
Il dubbio principale è: qual è il modo più conveniente di parametrizzare la superficie?
Vi ringrazio in anticipo,
Buona serata.
Ci sono alcune situazioni che non riesco a capire come gestire quando si tratta di calcolare il flusso attraverso una superficie. Questi dubbi sorgono soprattutto quando la superficie non mi viene data nella forma $(x,y,g(x,y))$. Per capirci meglio andiamo subito al sodo. Un esercizio che non capisco come impostare è questo:
"Sia E l'intersezione del cilindro $x^2+y^2<=1$ con la palla di centro l'origine e raggio 2. Calcolare il flusso uscente da E del campo vettoriale $F=(xz^2,y^2z^2,xy)$ "
Il dubbio principale è: qual è il modo più conveniente di parametrizzare la superficie?
Vi ringrazio in anticipo,
Buona serata.
Risposte
Volendo ragionare con il solo scopo di risolvere l'esercizio, mi chiedevo se si potesse affermare che la figura è chiusa e quindi applicare il teorema della divergenza. Risulta che l'integrale del flusso è pari all'integrale su E di $divF= z^2+2yz^2$. Per ragioni di simmetria del dominio, l'integrale della funzione dispari $2yz^2$ è nullo. Posso quindi calcolare il doppio dell'integrale di $z^2$ su E integrando per strati facendo variare $z$ tra $0$ e $(4-x^2-y^2)$ e, successivamente, concludere passando a coordinate polari.
È corretto svolgere l'esercizio così?
Nonostante ciò, la domanda del messaggio precedente permane: è possibile calcolare il flusso con la definizione e quindi andando a parametrizzare la superficie? Se si, come?
È corretto svolgere l'esercizio così?
Nonostante ciò, la domanda del messaggio precedente permane: è possibile calcolare il flusso con la definizione e quindi andando a parametrizzare la superficie? Se si, come?
Ciao. Nel tuo caso la regione in considerazione è \[\displaystyle \Omega=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:[x^2+y^2\ge 1]\wedge [x^2+y^2+z^2\le 4]\} \] che descrive un solido, e quindi la superficie è effettivamente chiusa. Siccome le ipotesi del teorema della divergenza sono rispettate (insieme compatto, bordo liscio, campo di classe $C^1$, bla bla) puoi applicarlo senza remore. Si ha \[\displaystyle \text{div }\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}[xz^2]+\frac{\partial}{\partial y} [yz^2]+\frac{\partial}{\partial z}[xy]=2z^2 \] e introducendo le coordinate cilindriche \[\displaystyle \Phi(\rho,\theta, z)=\begin{bmatrix} \rho\cos\theta \\ \rho\sin\theta \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \qquad \text{det }\mathbf{J}_{\Phi}=\rho\] si ha, considerando le condizioni imposte sul dominio di integrazione, \[\displaystyle \text{Flusso }=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_1^2 \rho \int_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{\sqrt{4-\rho^2}} z^2 dz\text{ }d\rho \] Per rispondere alla tua domanda: sì, teoricamente si può sempre usare la definizione, ma spesso trovare una parametrizzazione è scomodo, come in questo caso. Il teorema della divergenza garantisce una strada più semplice nei casi in cui la superficie sia chiusa (ovviamente a patto che la divergenza del campo sia una funzione gestibile come integranda).
"Weierstress":
Ciao. Nel tuo caso la regione in considerazione è \[\displaystyle \Omega=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:[x^2+y^2\ge 1]\wedge [x^2+y^2+z^2\le 4]\} \] che descrive un solido, e quindi la superficie è effettivamente chiusa. Siccome le ipotesi del teorema della divergenza sono rispettate (insieme compatto, bordo liscio, campo di classe $C^1$, bla bla) puoi applicarlo senza remore. Si ha \[\displaystyle \text{div }\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}[xz^2]+\frac{\partial}{\partial y} [yz^2]+\frac{\partial}{\partial z}[xy]=2z^2 \] e introducendo le coordinate cilindriche \[\displaystyle \Phi(\rho,\theta, z)=\begin{bmatrix} \rho\cos\theta \\ \rho\sin\theta \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \qquad \text{det }\mathbf{J}_{\Phi}=\rho\] si ha, considerando le condizioni imposte sul dominio di integrazione, \[\displaystyle \text{Flusso }=2\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_1^2 \rho \int_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{\sqrt{4-\rho^2}} z^2 dz\text{ }d\rho \] Per rispondere alla tua domanda: sì, teoricamente si può sempre usare la definizione, ma spesso trovare una parametrizzazione è scomodo, come in questo caso. Il teorema della divergenza garantisce una strada più semplice nei casi in cui la superficie sia chiusa (ovviamente a patto che la divergenza del campo sia una funzione gestibile come integranda).
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Mi pare chiaro che a volte gli esercizi sono impostati proprio per utilizzare uno specifico metodo e quindi risulta scomodo svolgerli per vie diverse. Ciò detto, credo che tu abbia letto un po' distrattamente il testo perché hai svolto l'esercizio modificando alcuni dati. Ad esempio, per quanto riguarda il dominio si deve considerare la parte interna del cilindro, ovvero $x^2+y^2<=1$ e non la parte esterna come hai fatto tu. Inoltre, la seconda componente del campo è $y^2 z^2$ e non $y z^2$ e ciò chiaramente influisce sul calcolo della divergenza.
Sei d'accordo o sono io ad aver preso un fosso?
La risposta giusta è che devo smettere di scrivere sul forum dopo una certa ora 
comunque in realtà non cambia tantissimo, la divergenza è quella che hai scritto tu, il raggio varia tra zero e uno. E' solo un attimo più lunghetto l'integrale.
Per quanto riguarda la parametrizzazione: potresti provare a spezzare il bordo in più parti, la parete laterale, il "tetto" e il "pavimento". La prima è una superficie cilindrica facile da parametrizzare (ti basta trovare la quota a cui avviene l'intersezione), le altre corrispondono al grafico di una funzione e quindi puoi provare usando la parametrizzazione naturale \(\displaystyle (u, v, g(u,v)) \). Oppure molto più semplicemente conosci già banalmente il valore del raggio e come varia $theta$: ti basta trovare $phi$ con un colpo di trigonometria (considera il triangolo che ha come cateti la quota a cui avviene l'intersezione e il raggio del cilindro: $phi$ è l'angolo tra l'asse delle $z$ e l'ipotenusa).
comunque in realtà non cambia tantissimo, la divergenza è quella che hai scritto tu, il raggio varia tra zero e uno. E' solo un attimo più lunghetto l'integrale.Per quanto riguarda la parametrizzazione: potresti provare a spezzare il bordo in più parti, la parete laterale, il "tetto" e il "pavimento". La prima è una superficie cilindrica facile da parametrizzare (ti basta trovare la quota a cui avviene l'intersezione), le altre corrispondono al grafico di una funzione e quindi puoi provare usando la parametrizzazione naturale \(\displaystyle (u, v, g(u,v)) \). Oppure molto più semplicemente conosci già banalmente il valore del raggio e come varia $theta$: ti basta trovare $phi$ con un colpo di trigonometria (considera il triangolo che ha come cateti la quota a cui avviene l'intersezione e il raggio del cilindro: $phi$ è l'angolo tra l'asse delle $z$ e l'ipotenusa).
"Weierstress":
La risposta giusta è che devo smettere di scrivere sul forum dopo una certa ora
Tranquillo, dopo un certo orario il cervello va a dormire un po' a tutti
"Weierstress":
Per quanto riguarda la parametrizzazione: potresti provare a spezzare il bordo in più parti, la parete laterale, il "tetto" e il "pavimento". La prima è una superficie cilindrica facile da parametrizzare (ti basta trovare la quota a cui avviene l'intersezione), le altre corrispondono al grafico di una funzione e quindi puoi provare usando la parametrizzazione naturale \(\displaystyle (u, v, g(u,v)) \). Oppure molto più semplicemente conosci già banalmente il valore del raggio e come varia $theta$: ti basta trovare $phi$ con un colpo di trigonometria (considera il triangolo che ha come cateti la quota a cui avviene l'intersezione e il raggio del cilindro: $phi$ è l'angolo tra l'asse delle $z$ e l'ipotenusa).
Quindi, in linea del tutto teorica, una possibile parametrizzazione consisterebbe nel dividere la figura in 3 pezzi:
$A$) La calotta superiore che possiamo parametrizzare in coordinate sferiche con raggio=2
$ (x,y,z)=(2cosvartheta senvarphi , 2senvartheta senvarphi , 2cosvarphi ) $
dove $varphi$ rappresenta la colatitudine e varia in $[0,pi/6]$ siccome sfera e cilindro si incontrano sul piano $ z=sqrt(3) $
$B$) La parte laterale del cilindro in coordinate cilindriche con raggio=1
$ (x,y,z)=(cosvartheta ,senvartheta ,z) $
$C$) La base del cilindro (considerando come base la circonferenza sul piano $z=0$ per simmetria della figura dovrò raddoppiare il valore del flusso)
$ (x,y,z)=(rho cosvartheta ,rho senvartheta ,0) $
In definitiva dovrebbe venire
$ int_(deltaSigma )
Perdona la pochezza delle notazioni ma ho scritto in maniera rapida giusto per capire se ho chiaro il concetto. L'integrale poi verrebbe sicuramente risolvibile ma bestiale confrontato a quello che risulta utilizzando il teorema della divergenza che dunque risulta la via più corretta per risolvere l'esercizio.
Mi trovo per quanto riguarda la calotta superiore e la superficie laterale. Tuttavia se non sbaglio il problema non ti impone $z>=0$ quindi il cilindro prosegue nel semispazio negativo fino ad incontrare nuovamente la sfera (per questo le intersezioni sono in corrispondenza di $z=+-sqrt3$). Quindi in realtà non hai una base circolare ma un'altra calotta identica a quella precedente, solo ribaltata.
"Weierstress":
Mi trovo per quanto riguarda la calotta superiore e la superficie laterale. Tuttavia se non sbaglio il problema non ti impone $z>=0$ quindi il cilindro prosegue nel semispazio negativo fino ad incontrare nuovamente la sfera (per questo le intersezioni sono in corrispondenza di $z=+-sqrt3$). Quindi in realtà non hai una base circolare ma un'altra calotta identica a quella precedente, solo ribaltata.
Data la simmetria del dominio non posso considerare il doppio del flusso uscente da metà figura (tra $z=0$ e $z=sqrt(3)$ per intenderci)?
Ok, allora dovresti anche controllare la simmetria delle integrande...
"Weierstress":
Ok, allora dovresti anche controllare la simmetria delle integrande...
Ah cavolo è vero, per poter affermare che l'integrale sul dominio intero valga il doppio di quello sul dominio ristretto a $z>=0$ dovrei prima constatare che le integrande siano pari rispetto alla variabile z (perché la figura è simmetrica rispetto al piano $xy$), giusto? In ogni caso comunque un bel casino. Per fortuna il teorema del div. semplifica di molto i calcoli.
Comunque, ti ringrazio per la costanza che stai mettendo nell'aiutarmi.
Esattamente. Come dicevo senza il teorema della divergenza diventa tutto un bel casino, anche se alla fine i conti si riescono a fare ugualmente.
Comunque, figurati, non c'è problema. Tanto più che anche io tra pochi giorni ho l'esame (di Analisi 3, ma questo argomento è incluso nel programma), quindi ripassare non mi fa male di certo.
Comunque, figurati, non c'è problema. Tanto più che anche io tra pochi giorni ho l'esame (di Analisi 3, ma questo argomento è incluso nel programma), quindi ripassare non mi fa male di certo.
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