[An1] Un paio di esercizi misti presi dall'ultimo scritto.

[giuscri]

1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$

${"denominatore"} \sim e^3 (x-1)^3$

$ {"numeratore"} \sim x - [ 1 + (x-1) - 1/2 * (x-1)^2 +$
$+ 1/3 * (x-1)^3 + (o(x-1))^3 + 1/2 ((x-1) - 1/2 * (x-1)^2)^2] $

$\sim - 1/3 * (x-1)^3 + 1/2 (x-1)^3 = 1/6 * (x-1)^3$

$\rArr {"numeratore"}/{"denominatore"} \sim (1/6 * (x-1)^3) / (e^3 * (x-1)^3) = 1/(6*e^3)$

2.(!) $sum_(n = 1)^infty e^((a - 1)*(a + 2)*n) * log(1 + e^(an))$

Mi serve che

$(a-1)*(a + 2) < 0 \and a < 0$,[/list:u:cnm55xpu]

altrimenti il termine generale della serie non va nemmeno a zero. Allora $a \in (-2,0)$. Riscrivo il termine generale così:


$1 / (e^(-(a-1)(a+2)*n)) * 1/ (e^(-(a*n)))$[/list:u:cnm55xpu]

Ingenuamente, concluderei così:


$1 / e^-((a^2 + 2a - 2)*n) <= 1/ n^-(a^2 + 2a -2))$[/list:u:cnm55xpu]

Allora, per avere convergenza:


$(\forall a \in RR " "| " "a^2 + 2a - 2 > 1) \cap (-2,0)$[/list:u:cnm55xpu]

$\rArr a \in (-2,-1)$[/list:u:cnm55xpu]

ma non mi convince per nulla. Quella maggiorazione è pietosa.

3. $f(x) = x*arctan(sqrt(5) + 1/x)$

E' possibile prolungare con continuità $f(x)$? Sì, dato che esiste finito il limite di $f(x)$, avvicinandosi a zero. $g(x)$ è come $f(x)$ in tutto il dominio di $f$. In $x = 0$, g(x) = 0.

Dove non è derivabile $g(x)$? Basta calcolare la derivata di $f(x)$.

$d/dx (f(x)) = {tan^(-1)(1/x+sqrt(5))-x/(6 x^2+2 sqrt(5) x+1)}$[/list:u:cnm55xpu]

Nei punti in cui la derivata non è definita, $g$ non è derivabile. Dunque, $g$ non è derivabile solo in $x = 0$, dato che

$6x^2 + 2sqrt(5)*x + 1 >= 0 " " \forall x \in RR$[/list:u:cnm55xpu]

Asintoti? $g$ non ha né asintoti orizzontali, né verticali. Per $x-> \infty$, $g(x) \sim x*arctan(sqrt(5))$. Cioé: se c'è un asintoto obliquo, per $x$ che cresce, allora ha coefficiente angolare $arctan(sqrt(5))$.

Ricerca del valore di $q$:

$q = lim_(x->infty) x * (arctan(sqrt(5) + 1/x) - arctan(sqrt(5)))$

$\rArr q -> 0^(+-)$

i.e. $f,g$ hanno asintoto obliquo al crescere di $x$ ($x->+-infty$) di equazione


$y = arctan(sqrt(5))$[/list:u:cnm55xpu]

Ok, credo di aver fatto un bel po' di casini. Se ci deste un occhio mi fareste un grosso piacere.

Ciao

[theras]

Ciao!
Su (1) e (3)(in quest'ultimo hai compiuto l'errore veniale di farti scappare un uguale sul segno di quel trinomio quadratico),
mi pare che ci siamo;
parsimonioso per come sono su Taylor e stime asintotiche,
e convinto sostenitore di ciò che origina entrambi(ovvero i limiti notevoli..),
avrei proceduto diversamente:
differenza di gusti e di scuola,non di sostanza!
Sulla (2),in primis,farei più attenzione agli estremi di quell'intervallo di variabilità di a,
(che per il resto,ai fini della convergenza della tua serie numerica,direi hai dedotto giustamente..);
nel suo interno,poi,osserverei che $EElim_(n to +oo)log(1+e^(an))=0^+<1$ $AAa in (-oo,0)rArr..$
$..rArre^((a-1)(a+2)n)*log(1+e^(an)) ed il II° membro della precedente disuguaglianza mi puzza,per $a in (-2,0)$ di termine generale d'una serie geometrica con ragione compresa,addirittura,tra 0 ed 1..
Saluti dal web.

[21zuclo]

"giuscri":1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$

${"denominatore"} \sim e^3 (x-1)^3$

$ {"numeratore"} \sim x - [ 1 + (x-1) - 1/2 * (x-1)^2 +$
$+ 1/3 * (x-1)^3 + (o(x-1))^3 + 1/2 ((x-1) - 1/2 * (x-1)^2)^2] $

$\sim - 1/3 * (x-1)^3 + 1/2 (x-1)^3 = 1/6 * (x-1)^3$

$\rArr {"numeratore"}/{"denominatore"} \sim (1/6 * (x-1)^3) / (e^3 * (x-1)^3) = 1/(6*e^3)$

allora per il limite per iniziare avrei fatto così.. $t= x-1$ che per $x\to 1, t\to 0$ e che $x=1+t$

bene sostituiamo $\lim_{t\to 0}(t+1+(1+\ln(1+t)+1/2 \ln^2(1+t)))/((e^{t+1}-e)^3)$

così ti era più facile usare gli sviluppi di taylor-mclaurin
NUMERATORE
$1+t+(1+t+o(t)+1/2 t^2+o(t^2))$ poi per $t\to 0$ ..tutte le potenze (compreso l'o-piccolo) di $t^2$ vanno dentro $o(t)$

per cui diventa $1+t+(1+t+o(t))= 2+2t+o(t)\sim_{t\to 0} 2+2t$

DENOMINATORE

$(e^{t+1}-e)^3=(e(e^{t+1-1}-1))^3=e^3(e^t-1)^3 \sim_{t\to 0} e^3 t^3$

Adesso numeratore e denominatore insieme $\lim_{t\to 0} f(t)\sim_{t\to 0} (2+2t)/(e^3 t^3)=(2)/(0)= \pm\infty$,

viene $+\infty$ se è $t\to 0^+$ altrimenti $-\infty$ se è $t\to 0^-$

poi gli altri non li ho controllati bene. Però se non hai capito qualcosa chiedi pure

[giuscri]

"21zuclo":[quote="giuscri"]1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$

${"denominatore"} \sim e^3 (x-1)^3$

$ {"numeratore"} \sim x - [ 1 + (x-1) - 1/2 * (x-1)^2 +$
$+ 1/3 * (x-1)^3 + (o(x-1))^3 + 1/2 ((x-1) - 1/2 * (x-1)^2)^2] $

$\sim - 1/3 * (x-1)^3 + 1/2 (x-1)^3 = 1/6 * (x-1)^3$

$\rArr {"numeratore"}/{"denominatore"} \sim (1/6 * (x-1)^3) / (e^3 * (x-1)^3) = 1/(6*e^3)$

allora per il limite per iniziare avrei fatto così.. $t= x-1$ che per $x\to 1, t\to 0$ e che $x=1+t$

bene sostituiamo $\lim_{t\to 0}(t+1+(1+\ln(1+t)+1/2 \ln^2(1+t)))/((e^{t+1}-e)^3)$

così ti era più facile usare gli sviluppi di taylor-mclaurin
NUMERATORE
$1+t+(1+t+o(t)+1/2 t^2+o(t^2))$ poi per $t\to 0$ ..tutte le potenze (compreso l'o-piccolo) di $t^2$ vanno dentro $o(t)$

per cui diventa $1+t+(1+t+o(t))= 2+2t+o(t)\sim_{t\to 0} 2+2t$

DENOMINATORE

$(e^{t+1}-e)^3=(e(e^{t+1-1}-1))^3=e^3(e^t-1)^3 \sim_{t\to 0} e^3 t^3$

Adesso numeratore e denominatore insieme $\lim_{t\to 0} f(t)\sim_{t\to 0} (2+2t)/(e^3 t^3)=(2)/(0)= \pm\infty$,

viene $+\infty$ se è $t\to 0^+$ altrimenti $-\infty$ se è $t\to 0^-$

poi gli altri non li ho controllati bene. Però se non hai capito qualcosa chiedi pure[/quote]

In questo momento devo scappare. Ma dando un'occhiata veloce a quello che hai scritto e confrontando con il grafico plottato da Wolfram per quella funzione direi che hai molta ragione.

Il peccato è che era il mio compito d'Analisi, e dev'essere andato uno sfacelo a questo punto.

Più tardi ricontrollo comunque..

Grazie ad entrambi per il confronto.