[An1] Un paio di esercizi misti presi dall'ultimo scritto.

giuscri
1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$



2.(!) $sum_(n = 1)^infty e^((a - 1)*(a + 2)*n) * log(1 + e^(an))$



3. $f(x) = x*arctan(sqrt(5) + 1/x)$



Ok, credo di aver fatto un bel po' di casini. Se ci deste un occhio mi fareste un grosso piacere.

Ciao

Risposte
theras
Ciao!
Su (1) e (3)(in quest'ultimo hai compiuto l'errore veniale di farti scappare un uguale sul segno di quel trinomio quadratico),
mi pare che ci siamo;
parsimonioso per come sono su Taylor e stime asintotiche,
e convinto sostenitore di ciò che origina entrambi(ovvero i limiti notevoli..),
avrei proceduto diversamente:
differenza di gusti e di scuola,non di sostanza!
Sulla (2),in primis,farei più attenzione agli estremi di quell'intervallo di variabilità di a,
(che per il resto,ai fini della convergenza della tua serie numerica,direi hai dedotto giustamente..);
nel suo interno,poi,osserverei che $EElim_(n to +oo)log(1+e^(an))=0^+<1$ $AAa in (-oo,0)rArr..$
$..rArre^((a-1)(a+2)n)*log(1+e^(an)) ed il II° membro della precedente disuguaglianza mi puzza,per $a in (-2,0)$ di termine generale d'una serie geometrica con ragione compresa,addirittura,tra 0 ed 1..
Saluti dal web.

21zuclo
"giuscri":
1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$





allora per il limite per iniziare avrei fatto così.. $t= x-1$ che per $x\to 1, t\to 0$ e che $x=1+t$

bene sostituiamo $\lim_{t\to 0}(t+1+(1+\ln(1+t)+1/2 \ln^2(1+t)))/((e^{t+1}-e)^3)$

così ti era più facile usare gli sviluppi di taylor-mclaurin
NUMERATORE
$1+t+(1+t+o(t)+1/2 t^2+o(t^2))$ poi per $t\to 0$ ..tutte le potenze (compreso l'o-piccolo) di $t^2$ vanno dentro $o(t)$

per cui diventa $1+t+(1+t+o(t))= 2+2t+o(t)\sim_{t\to 0} 2+2t$

DENOMINATORE

$(e^{t+1}-e)^3=(e(e^{t+1-1}-1))^3=e^3(e^t-1)^3 \sim_{t\to 0} e^3 t^3$

Adesso numeratore e denominatore insieme $\lim_{t\to 0} f(t)\sim_{t\to 0} (2+2t)/(e^3 t^3)=(2)/(0)= \pm\infty$,

viene $+\infty$ se è $t\to 0^+$ altrimenti $-\infty$ se è $t\to 0^-$

poi gli altri non li ho controllati bene. Però se non hai capito qualcosa chiedi pure

giuscri
"21zuclo":
[quote="giuscri"]1. $lim_(x->1) (x + [1 + logx + 1/2 * (logx)^2]) / (e^x - e)^3$





allora per il limite per iniziare avrei fatto così.. $t= x-1$ che per $x\to 1, t\to 0$ e che $x=1+t$

bene sostituiamo $\lim_{t\to 0}(t+1+(1+\ln(1+t)+1/2 \ln^2(1+t)))/((e^{t+1}-e)^3)$

così ti era più facile usare gli sviluppi di taylor-mclaurin
NUMERATORE
$1+t+(1+t+o(t)+1/2 t^2+o(t^2))$ poi per $t\to 0$ ..tutte le potenze (compreso l'o-piccolo) di $t^2$ vanno dentro $o(t)$

per cui diventa $1+t+(1+t+o(t))= 2+2t+o(t)\sim_{t\to 0} 2+2t$

DENOMINATORE

$(e^{t+1}-e)^3=(e(e^{t+1-1}-1))^3=e^3(e^t-1)^3 \sim_{t\to 0} e^3 t^3$

Adesso numeratore e denominatore insieme $\lim_{t\to 0} f(t)\sim_{t\to 0} (2+2t)/(e^3 t^3)=(2)/(0)= \pm\infty$,

viene $+\infty$ se è $t\to 0^+$ altrimenti $-\infty$ se è $t\to 0^-$

poi gli altri non li ho controllati bene. Però se non hai capito qualcosa chiedi pure[/quote]

In questo momento devo scappare. Ma dando un'occhiata veloce a quello che hai scritto e confrontando con il grafico plottato da Wolfram per quella funzione direi che hai molta ragione.

Il peccato è che era il mio compito d'Analisi, e dev'essere andato uno sfacelo a questo punto.

Più tardi ricontrollo comunque..

Grazie ad entrambi per il confronto.

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