[An1] Un controllo su esercizio standard sulle serie?

[giuscri]

Sia $a \in RR$. Determinare per quali valori di $a$ la serie seguente è convergente:[/list:u:2crlzd7b]


$sum_1 ^ infty n^(a^2 + a) / ((sqrt(1+n^(3a)) * sqrt(1+n^2))}$[/list:u:2crlzd7b]

Tentativo di svolgimento:

separo $1/sqrt(1+n^2)$.


Per $n->infty$, ho $1/n$. Allora il termine generale della serie diventa:



$n^(a^2 + a - 1) / (sqrt(1+n^(3a)))$.[/list:u:2crlzd7b]

Se $a < 0$, riguardo al denominatore posso dire che:


$1/sqrt(1 + n^(3a)) = 1/(1 + 1/2 * n^(3a) + o(n^(3a))) = $[/list:u:2crlzd7b]


$1 - 1/2 * n^(3a) + o (n^(3a))$.[/list:u:2crlzd7b]

Moltiplicando per il numeratore ho:


$n^(a^2 +a - 1) - 1/2 * n^(a^2 + 4a - 1) + o (n^(a^2 + 4a - 1)) =$[/list:u:2crlzd7b]


$=n^(a^2 + a) + [n^-1 - 1/2 * n^(3a - 1)] =$[/list:u:2crlzd7b]


$\sim -1/2 * n^(a^2 + 4a - 1)$.[/list:u:2crlzd7b]

Per avere convergenza della serie cerco gli $a$ per cui vale:

$a^2 + 4a - 1 < -1$, i.e. $a > -4$.

Dato che $a$ era esplicitamente negativo: $a \in (-4,0)$.

[giuscri]

Up!