An. Complessa - Operatori differenziali

[Seneca1]

Per una trattazione più elegante e "suggestiva" della teoria delle funzioni si introducono in maniera conveniente due operatori differenziali (dovuti, mi sembra, a Wirtinger). Questi sono:

$partial/(partial z) = 1/2 (partial/(partial x) - i partial/(partial y))$

$partial/(partial bar(z) ) = 1/2 (partial/(partial x) + i partial/(partial y))$

Viene data poi la seguente formula: se $f(z), g(w)$ sono due funzioni derivabili da un sottoinsieme di $CC$ in $CC$ che supponiamo componibili, allora valgono:

$partial/(partial z) (g(f)) = partial/(partial w) (g(f)) partial/(partial z) f + partial/(partial bar(w)) (g(f) ) partial/(partial z) bar f$

Come si può ottenere questa formula?

[gugo82]

Beh, prova a sporcarti un po' le mani coi conti...

[Seneca1]

Nessuno mi ha mai mostrato come maneggiare queste espressioni formali ricche di derivate parziali...

"Seneca":$partial/(partial z) (g(f)) = partial/(partial w) (g(f)) partial/(partial z) f + partial/(partial bar(w)) (g(f) ) partial/(partial z) bar f$

Siano $g = p + i q$ e $f = u + i v$.

$g(f) = p(f) + i q(f)$

$partial/(partial z) (g(f)) = partial/(partial x) p(f) + i partial/(partial x) q(f) - i partial/(partial y) p(f) + partial/(partial y) q(f)$

$= partial/(partial x) p(f) + partial/(partial y) q(f) + i ( partial/(partial x) q(f) - partial/(partial y) p(f) )$

Essendo $w = f(z)$ posso scrivere: $partial/(partial x) p(f) = partial/(partial w) p(f) * partial/(partial x) f $ (e anche con le altre...)

Quindi trovo:

$= partial/(partial w) p(w) * partial/(partial x) f + partial/(partial w) q(w) * partial/(partial y) * f + i ( partial/(partial w) q(w) * partial/(partial x) f - partial/(partial w) p(w) * partial/(partial y) f )$

$= partial/(partial w) p(w) ( partial/(partial x) f - i partial/(partial y) f ) + partial/(partial w) q(w) ( partial/(partial y) * f + i partial/(partial x) f )$

$= partial/(partial w) p(w) * partial/(partial z) f + partial/(partial w) q(w) * partial/(partial bar(z)) f$

... Ma non torna (e ci credo... chissà che orrori avrò commesso).

[dissonance]

*** EDIT *** Questo post non risponde alla domanda iniziale, avevo letto male e sono partito in quarta. Lo lascio, magari è utile, ma lo metto in modalità nascosta per non occupare troppo spazio nella pagina.

Seneca, perdonami se non leggo il tuo intervento precedente, sono un po' stanco. Ti dico come mi piace vedere questa cosa, che peraltro trovi spiegata in modo conciso su Rudin Real and complex analysis, primissima pagina del capitolo "Harmonic functions".

Sia \(f \colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}\). Identificando il dominio di \(f\) ad \(\mathbb{R}^2\), e supponendo \(f\) differenziabile in senso reale, possiamo scrivere

\[\tag{1} f(x, y)-f(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0)+o\left(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right).\]

Ora operiamo il seguente cambiamento di coordinate:

\[\begin{cases} z=x+iy \\ \bar{z}=x-iy\end{cases}\]

dove \(z, \bar{z}\) sono considerate variabili indipendenti. Allora [size=85](*)[/size]

\[\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial }{\partial z}+\frac{\partial \bar{z}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial \bar{z}} \\
\\
\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial }{\partial z}+\frac{\partial \bar{z}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=i\left(\frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\right)
\end{cases}\]
e
\[\begin{cases} x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \\
y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})
\end{cases}.\]

Introducendo queste trasformazioni nella (1) si ottiene

\[f(z)-f(z_0)=\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)(z-z_0)+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)(\bar{z}-\bar{z}_0)+o(\lvert z-z_0 \rvert). \]

Questa era la relazione cercata. Questo non sarà un discorso formalmente preciso, ma almeno a livello euristico io lo trovo soddisfacente. E poi, quanto meno così riesco a ricostruire rapidamente la definizione di \(\partial_z, \partial_{\bar{z}}\) senza doverli ricordare a memoria:

\[\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right),\]
\[\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=(\ldots)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right).\]



____________
(*) Nient'altro che la chain rule. Calcoli di questo tipo sono comuni in fisica e in geometria differenziale, e in quest'ultimo ambito sono anche formalizzati a modino.

[Seneca1]

Grazie della risposta, Dissonance. Infatti questi due operatori mi sono stati introdotti proprio seguendo lo stesso iter del tuo ragionamento.

Tornando alla domanda principale: qualcuno ha qualche idea da passarmi per sviluppare $partial/(partial z) g(f)$ e ottenere il membro destro dell'uguaglianza?

[gugo82]

Praticamente usi il teorema di derivazione della funzione composta.

Quando hai una funzione complessa \(\phi\), puoi sempre pensarla come funzioni delle due variabili \(z\) e \(\bar{z}\), i.e. come \(\phi(z,\bar{z})\).
Allora abbiamo da comporre \(g(w,\bar{w})\) con \(f(z,\bar{z})\); la funzione composta è \(g(f(z,\bar{z}), \bar{f}(z,\bar{z}))\) ed il teorema di derivazione della funzione composta dà:
\[
\frac{\partial g}{\partial w}\ \frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial \bar{w}}\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z}
\]
come volevi.

[Seneca1]

Ah, bello! (e semplice!)

Grazie Gugo.